已知: $\triangle A B C$ 中, $\angle A=24^{\circ}, \angle C=30^{\circ}, D$ 为 $A C$ 上一点, $A B=C D$, 连接 $B D$ 。
求证: $A B \cdot B C=B D \cdot A C$
【答案】 简证: 以 $A B$ 为边作正三角形 (如图)
由 $\angle C=30^{\circ}$ 得 $O C=O B$
$$
\begin{aligned}
& \angle B O C=2 \angle B A C=48^{\circ} \\
& \angle A O C=108^{\circ}, \angle O C D=36^{\circ} \\
& O C=O D, \angle C O D=72^{\circ} \\
& \angle B O D=24^{\circ} \\
& \triangle A B D \cong \triangle O B D, \quad \angle A B D=30^{\circ} \\
& \triangle A B D \sim \triangle A C B, A B \cdot B C=B D \cdot A C^{\circ}
\end{aligned}
$$