题号:3771    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:21:33
已知: $A B C D$ 与 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 均为正方形, $A_2 、 B_2 、 C_2 、 D_2$ 分别为 $A A_1 、 B B_1 、 C C_1 、 D D_1$ 的中点。求证: $A_2 B_2 C_2 D_2$ 为正方形
【答案】
简证:只要证明 $\triangle A_2 B_2 C_2$ 是等腰直角三角形即可。 设 $B=0, C=1, A=i, B_1=b, C_1=c(b, c \in \square)$, 则
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\begin{aligned}
& A_1=B_1+\left(C_1-B_1\right) i=b+(c-b) i \\
& A_2=\frac{A+A_1}{2}=\frac{i+(c-b) i+b}{2} \\
& B_2=\frac{B+B_1}{2}=\frac{b}{2} \\
& C_2=\frac{C+C_1}{2}=\frac{c+1}{2} \\
& \overrightarrow{B_2 C_2} \cdot i=\left(C_2-B_2\right) i=\frac{c+1-b}{2} i \\
& \overrightarrow{B_2 A_2}=A_2-B_2=\frac{i+(c-b) i+b}{2}-\frac{b}{2}=\frac{c-b+1}{2} i \\
& \therefore B_2 C_2 \perp B_2 A_2, \quad\left|B_2 C_2\right|=\left|B_2 A_2\right|
\end{aligned}
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