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试卷8

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家, 他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图, 在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上）, 其天顶方向与太阳光线的夹角测得为

{7.2}^{\circ}

. 因太阳距离地球很远, 故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是 5000 斯塔蒂亚, 按埃及的长度算, 1 斯塔蒂亚等于

157.5

米, 则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）

A.

38680 千米

B.

39375 千米

C.

41200 千米

D.

42192 千米

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2. 某几何体的三视图如右图所示, 则该几何体外接球的表面积为

A.

200 π

B.

100 π

C.

\frac{125}{2} π

D.

50 π

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3. 如图所示, 某三维形体的底面由曲线

y = \sqrt{\sec^{2} x + \tan x} (0 ⩽ x ⩽ \frac{π}{3})

与 x 轴、 y 轴和

x = \frac{π}{3}

围成. 用垂直x轴的平面截该形体得到的节面均为正方形，则该形体的体积是

A.

\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\ln 2}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2} + \ln 2

C.

\sqrt{3} + \frac{\ln 2}{2}

D.

\sqrt{3} + \ln 2

E.

\sqrt{3} + 2 \ln 2

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4. 坐标平面上的三个向量

\vec{a} = (2, 4), \vec{b} = (2, 8), \vec{c} = (1, 0)

对于两个向量

\vec{p}, \vec{q}

满足

(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0, \vec{q} = \frac{1}{2} \vec{a} + t \vec{c}

， t是一个实数，求

| \vec{p} - \vec{q} |

的最小值是多少？

A.

\frac{3}{2}

B.

C.

\frac{5}{2}

D.

E.

\frac{7}{2}

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5. 在坐标空间中有一个包含直线

AB

的平面

α

。

θ_{1}

是直线

AB

与直线

AC

所形成的锐角，

\sin θ_{1} = \frac{4}{5}

，直线

AC

与平面

α

形成的锐角的大小是

\frac{π}{2} - θ_{1}

。
如果

θ_{2}

是平面

ABC

与平面

α

形成的锐角的大小，那么

\cos θ_{2}

的值是多少？

A.

\frac{\sqrt{7}}{4}

B.

\frac{\sqrt{7}}{5}

C.

\frac{\sqrt{7}}{6}

D.

\frac{\sqrt{7}}{7}

E.

\frac{\sqrt{7}}{8}

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6. 如图, 边长为 2 的正方形

A B C D

中, 点

E, F

分别是边

A B, B C

的中点, 将

△ A E D, △ E B F, △ F C D

分别沿

D E, E F, F D

折起, 使

A, B, C

三点重合于点

A^{'}

, 若四面体

A^{'} E F D

的四个顶点在同一个球面上, 则该球的半径为

A.

\sqrt{2}

B.

\frac{\sqrt{6}}{2}

C.

\frac{\sqrt{11}}{2}

D.

\frac{\sqrt{5}}{2}

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7. 若某圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆面, 其内接正四棱柱的高为

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 则此正四棱柱的体积是

A.

\frac{9 \sqrt{6}}{8}

B.

\frac{9 \sqrt{3}}{8}

C.

\frac{8 \sqrt{3}}{27}

D.

\frac{8 \sqrt{6}}{27}

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8. 在三棱锥

P - A B C

中,

P A ⊥

平面

A B C, P A = 6, B C = 3, ∠ C A B = \frac{π}{6}

, 则三棱雉

P - A B C

的外接球半径为

A.

3

B.

3 \sqrt{2}

C.

3 \sqrt{3}

D.

6

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9. 如图, 在边长为 2 的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

P

在线段

B D_{1}

上运动 (包括端点), 下列选项正确的有

A.

A P ⊥ B_{1} C

B.

P D ⊥ B C

C.

直线

P C_{1}

与平面

A_{1} B C D_{1}

所成角的最小值是

\frac{π}{6}

D.

P C + P D

的最小值为

2 \sqrt{3}

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10. 已知圆台上底面半径为 1 , 下底面半径为 3 , 球与圆台的两个底面利侧面均相切, 则该圆台的侧面积'球的表面积之比为

A.

\frac{13}{6}

B.

\frac{4}{3} \sqrt{3}

C.

\frac{13}{12}

D.

\frac{4}{3}

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11. 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

M, N, P

分别是面

A B_{1}

, 面

B_{1} D_{1}

, 面

D A_{1}

的中心, 则下列结论正确的是

A.

N P / / D C_{1}

B.

M N / /

平面

A C P

C.

D_{1} C ⊥

平面

M N P

D.

P M

与

B C_{1}

所成的角是

60^{\circ}

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12. 若圆锥的轴截面为等边三角形, 且面积为

2 \sqrt{3}

, 则圆锥的体积为

A.

4 \sqrt{3} π

B.

\frac{2 \sqrt{6}}{3} π

C.

\frac{8 \sqrt{3} π}{3}

D.

8 \sqrt{3} π

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13. 已知三棱雉

O - A B C

中, 点

M, N

分别为

A B, O C

的中点, 且

\vec{O A} = a, \vec{O B} = b, \vec{O C} = c

, 则

\vec{N M} =

A.

\frac{1}{2} (b + c - a)

B.

\frac{1}{2} (a + b + c)

C.

\frac{1}{2} (a - b + c)

D.

\frac{1}{2} (a + b - c)

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14. 若四棱柱

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的所有棱长均为 2 , 且

∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60^{\circ}

, 则

A_{1}

到平面

A B C D

的距离为

A.

\frac{\sqrt{6}}{3}

B.

\frac{\sqrt{6}}{2}

C.

\frac{2 \sqrt{6}}{3}

D.

\sqrt{3}

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15. 若圆雉的侧面展开图为一个半圆面, 则它的底面面积与侧面面积之比是

A.

\sqrt{2} : 1

B.

2 : 1

C.

1 : \sqrt{2}

D.

1 : 2

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16. 已知侧棱长为

2 \sqrt{3}

的正四棱雉各顶点都在同一球面上. 若该球的表面积为

36 π

, 则该正四棱雉的体积为

A.

\frac{16}{3}

B.

\frac{8 \sqrt{2}}{3}

C.

\frac{8}{3}

D.

\frac{32}{3}

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17. 如图所示, 正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

P

是

A_{1} C_{1}

上的动点, 则下列直线中, 始终与直线

B P

异面的是

A.

D D_{1}

B.

A C

C.

A D_{1}

D.

B_{1} C

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18. 在四棱锥

S - A B C D

中,

S C ⊥

平面

A B C D, A B / / C D, A B ⊥ A D, A D = C D = 1, S D =

A B = 2

, 点

E

为

S B

的中点, 则异面直线

S D

与

C E

所成角的余弦值为

A.

\frac{\sqrt{5}}{10}

B.

\frac{\sqrt{5}}{5}

C.

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

D.

\frac{3 \sqrt{5}}{10}

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19. 如图, 已知长方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的体积为

16, A B =

2 A A_{1} = 2 B C, A D_{1}

与

A_{1} D

相交于点

E

, 则三棱锥

E - A C D

的外接球的表面积为

A.

12 π

B.

16 π

C.

20 π

D.

36 π

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20. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深人的研究, 从其中一些数学用语可见, 譬如 “阳马” 意指底面为矩形, 一侧棱垂直于底面的四棱锥. 某 “阳马” 的三视图如图 2 所示, 则它的最长侧棱与底面所成角的正切值为

A.

\frac{1}{2}

B.

1

C.

\frac{\sqrt{5}}{5}

D.

\frac{\sqrt{6}}{6}

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21. 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

E

为

B C

的中点, 则异面直线

A_{1} C

与

B_{1} E

所成角的余弦值为

A.

\frac{\sqrt{10}}{5}

B.

\frac{\sqrt{15}}{5}

C.

\frac{\sqrt{5}}{5}

D.

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

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22. 如图, 青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体, 下半部分可以近似看作两个圆台的组合体, 已知

A B = 9 cm, C D = 3 cm

, 则该青铜器的表面积为 (假设上、下底面圆是封闭的)

A.

\frac{(36 \sqrt{3} + 81) π}{2} {cm}^{2}

B.

(18 \sqrt{3} + 58) π {cm}^{2}

C.

\frac{(24 \sqrt{3} + 81) π}{2} {cm}^{2}

D.

(18 \sqrt{3} + 36) π {cm}^{2}

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23. 如图, 在四棱雉

P - A B C D

中, 平面

P A D ⊥

平面

A B C D

, 四边形

A B C D

是矩形,

P A = P D =

\sqrt{2} A B, E, F

分别是棱

B C, P D

的中点, 则异面直线

E F

与

A B

所成角的余弦值是

A.

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

\frac{\sqrt{6}}{3}

C.

\frac{\sqrt{3}}{6}

D.

\frac{\sqrt{6}}{6}

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24. 如图 1 所示, 四边形

A B C D

是边长为 2 的正方形, 点

E 、 F 、 M

分别为线段

B C

、

C D 、 B E

的中点, 分别沿

A E 、 A F

及

E F

所在直线把

△ A E B, △ A F D

和

△ E F C

折起, 使

B 、 C 、 D

三点重合于点

P

, 得到如图 2 所示的三棱锥

P - A E F

, 则下列结论中正确的有

A.

点

P

在平面

A E F

上的投影为

△ A E F

的外心

B.

直线

A M

与平面

P E F

所成角的正切值为 2

C.

三棱锥

P - A E F

的内切球半径为

\frac{1}{2}

D.

过点

M

的平面截三棱锥

P - A E F

的外接球所得截面的面积的取值范围为

[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{2}]

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25. 如图, 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

E, F

分别是棱

B_{1} B, B_{1} C_{1}

的中点, 则过线段

B D

且垂直于平面

A_{1} E F

的截面图形为

A.

等腰梯形

B.

三角形

C.

正方形

D.

矩形

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26. 如图, 直线

l ⊥

平面

α

, 垂足为

O

, 正四面体

A B C D

(所有棱长都相等的三棱锥) 的棱长为

2, C

在平面

α

内,

B

是直线

l

上的动点, 当

O

到

A D

的距离最大时, 该正四面体在平面

α

上的射影面积为

A.

\sqrt{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\sqrt{2}

D.

1 + \frac{\sqrt{2}}{2}

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27. 在矩形

A B C D

中, 已知

A B = 2 A D = 4, E

是

A B

的中点, 将

△ A D E

沿直线

D E

翻折成

△ A_{1} D E

, 连接

A_{1} C

. 当二面角

A_{1} - D E - C

的平面角的大小为

60^{\circ}

时, 则三棱雉

A_{1} - C D E

外接球的表面积为

A.

\frac{56 π}{3}

B.

18 π

C.

19 π

D.

\frac{53 π}{3}

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28. 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中, 已知

A A_{1} = 7

, 点

O

在棱

A A_{1}

上, 且

A O = 4, P

为正方体表面上的动点, 若

P O = 5

, 则点

P

的轨迹长度为

A.

\frac{15 π}{2}

B.

(4 + 3 \sqrt{2} π)

C.

\frac{17 π}{2}

D.

(4 + 3 \sqrt{3}) π

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29. 已知圆锥

D O

的轴截面为等边三角形,

△ A B C

是底面

⊙ O

的内接正三角形, 点

P

在

D O

上, 且

P O = λ D O

. 若

P A ⊥

平面

P B C

, 则实数

λ =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{6}}{3}

C.

\frac{\sqrt{6}}{4}

D.

\frac{\sqrt{6}}{6}

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30. 校举行“云翔杯”学生篮球比赛, 统计部分班级的得分数据如下:

A.

得分的中位数为 28

B.

得分的极差为 8

C.

得分的众数为 34

D.

得分的平均数为 31

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31.

(1 + \frac{1}{x^{3}}) (1 + x)^{7}

展开式中

x^{3}

项的系数为

A.

B.

C.

D.

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32. 某次数学考试后, 为分析学生的学习情况, 某校从某年级中随机抽取了 100 名学生的成绩, 整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况, 计算得到这 100 名学生中, 成绩位于

[80, 90)

内的学生成绩方差为 12 , 成绩位于

[90, 100)

内的同学成绩方差为 10 . 则

参考公式: 样本划分为 2 层, 各层的容量、平均数和方差分别为:

m, \bar{x}, s_{1}^{2}; n, \bar{y}, s_{2}^{2}

. 记样本平均数为

\bar{ω}

, 样本方差为

s^{2}, s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + (\bar{x} - \bar{ω})^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + (\bar{y} - \bar{ω})^{2}]

A.

a = 0.004

B.

估计该年级学生成绩的中位数为 77.14

C.

估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50

D.

估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为 30.25

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33. 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行, 则 2 个 0 不相邻的概率为

A.

\frac{1}{3}

B.

\frac{2}{5}

C.

\frac{2}{3}

D.

\frac{4}{5}

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34. 甲乙丙丁戊 5 名同学坐成一排参加高考调研, 若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为

A.

36 种

B.

48 种

C.

54 种

D.

64 种

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35.

(x - \sqrt{x})^{4}

的二项展开式中

x^{3}

的系数为

A.

B.

C.

-4

D.

-13

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36. 从 3 名男生和 3 名女生中任意抽取两人, 设事件

A =

“抽到的两人都是男生”, 事件

B =

“抽到 1 名男生与 1 名女生”, 则

A.

在有放回简单随机抽样方式下,

P (A) = \frac{1}{2}

B.

在不放回简单随机抽样方式下,

P (B) = \frac{1}{4}

C.

在按性别等比例分层抽样方式下,

P (A) = \frac{1}{3}

D.

在按性别等比例分层抽样方式下,

P (B) = 1

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37. 四名同学各掷㴮子 5 次, 分别记录每次骰子出现的点数, 根据四名同学各自的统计结果的数字特征, 可以判断出一定没有出现点数 6 的是

A.

中位数为 3 , 众数为 3

B.

平均数为 3 , 中位数为 3

C.

中位数为 2 , 极差为 2

D.

平均数为 2 , 标准差为 2

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38. 已知随机变量

X

服从两点分布,

E (X) = 0.6

, 则其成功概率为

A.

0.3

B.

0.4

C.

0.5

D.

0.6

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39. 【书本 P96 例 3 改编】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著, 根据贝叶斯统计理论, 随机事件 A,

B

存在如下关系:

P (A ∣ B) = \frac{P (A) P (B ∣ A)}{P (B)}

. 若某地区一种疾病的患病率是 0.05 , 现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为

95 %

, 即在被检验者患病的前提下用该试剂检测, 有

95 %

的可能呈现阳性; 该试剂的误报率为

0.5 %

, 即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测, 有

0.5 %

的可能会误报阳性. 现随机抽取该地区的一个被检验者, 已知检验结果呈现阳性, 则此人患病的概率为

A.

\frac{495}{1000}

B.

\frac{995}{1000}

C.

\frac{10}{11}

D.

\frac{21}{22}

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40. 【概率第 10 课时改编】某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩

X

(满分 150 分) 服从正态分布

N (100, 100)

, 其中考试成绩 130 分及以上者为优秀, 考试成绩 90 分及以上者为及格. 已知优秀的人数为 13, 本次考试成绩及格的人数大约为（）

附:

P (μ + σ < X < μ + σ) = 0.6826, P (μ + 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544, P (μ + 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974

A.

3413

B.

1587

C.

8413

D.

6826

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