一、单选题 （共 49 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家, 他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图, 在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚 历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上）, 其天顶方向与太阳光线的夹角测得为 $7.2^{\circ}$. 因太阳距离地球很 远, 故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是 5000 斯塔蒂亚, 按埃及的长度算, 1 斯塔蒂亚等于 $157.5$ 米, 则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）
$\text{A.}$ 38680 千米
$\text{B.}$ 39375 千米
$\text{C.}$ 41200 千米
$\text{D.}$ 42192 千米
某几何体的三视图如右图所示, 则该几何体外接球的表面积为
$\text{A.}$ $200 \pi$
$\text{B.}$ $100 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{125}{2} \pi$
$\text{D.}$ $50 \pi$
如图所示, 某三维形体的底面由曲线 $ y=\sqrt{\sec ^2 x+\tan x}\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3}\right) $ 与 x 轴、 y 轴和 $ x=\frac{\pi}{3} $ 围成. 用垂直x轴的平面截该形体得到的节面均为正方形，则该形体的体积是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\ln 2}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln 2$
$\text{C.}$ $ \sqrt{3}+\frac{\ln 2}{2} $
$\text{D.}$ $\sqrt{3}+\ln 2$
坐标平面上的三个向量$ \vec{a}=(2,4), \quad \vec{b}=(2,8), \quad \vec{c}=(1,0)$
对于两个向量 $\vec{p}, \vec{q}$ 满足$
(\vec{p}-\vec{a}) \cdot(\vec{p}-\vec{b})=0, \quad \vec{q}=\frac{1}{2} \vec{ a}+t \vec{c}
$ ， t是一个实数，求 $|\vec{p}-\vec{q}|$ 的最小值是多少？
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ 3
在坐标空间中有一个包含直线$\mathrm{AB}$的平面$\alpha$。 $\theta_1$ 是直线 $\mathrm{AB}$ 与直线 $\mathrm{AC}$ 所形成的锐角， $ \sin \theta_1=\frac{4}{5}$，直线$\mathrm{AC}$与平面$\alpha$形成的锐角的大小是 $\frac{\pi}{2}-\theta_1$ 。
如果$\theta_2$是平面$\mathrm{ABC}$与平面$\alpha$形成的锐角的大小，那么$\cos \theta_2$的值是多少？
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{7}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{7}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{7}}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{7}}{7}$
如图, 边长为 2 的正方形 $A B C D$ 中, 点 $E, F$ 分别是边 $A B, B C$ 的中 点, 将 $\triangle A E D, \triangle E B F, \triangle F C D$ 分别沿 $D E, E F, F D$ 折起, 使 $A, B, C$ 三点重合于点 $A^{\prime}$, 若四面体 $A^{\prime} E F D$ 的四个顶点在同一个球面上, 则 该球的半径为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{11}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$
若某圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆面, 其内接正四棱柱的高为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 则此正四棱柱的体积是
$\text{A.}$ $\frac{9 \sqrt{6}}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{9 \sqrt{3}}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{8 \sqrt{3}}{27}$
$\text{D.}$ $\frac{8 \sqrt{6}}{27}$
在三棱锥 $P-A B C$ 中, $P A \perp$ 平面 $A B C, P A=6, B C=3, \angle C A B=\frac{\pi}{6}$, 则三棱雉 $P-A B C$ 的 外接球半径为
$\text{A.}$ $3$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $6$
如图, 在边长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $P$ 在线段 $B D_1$ 上运动 (包括端点), 下列选项正 确的有
$\text{A.}$ $A P \perp B_1 C$
$\text{B.}$ $P D \perp B C$
$\text{C.}$ 直线 $P C_1$ 与平面 $A_1 B C D_1$ 所成角的最小值是 $\frac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ $P C+P D$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$
已知圆台上底面半径为 1 , 下底面半径为 3 , 球与圆台的两个底面利侧面均相切, 则该圆 台的侧面积'球的表面积之比为
$\text{A.}$ $\frac{13}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\frac{13}{12}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $M, N, P$ 分别是面 $A B_1$, 面 $B_1 D_1$, 面 $D A_1$ 的中心, 则下列 结论正确的是
$\text{A.}$ $N P / / D C_1$
$\text{B.}$ $M N / /$ 平面 $A C P$
$\text{C.}$ $D_1 C \perp$ 平面 $M N P$
$\text{D.}$ $P M$ 与 $B C_1$ 所成的角是 $60^{\circ}$
若圆锥的轴截面为等边三角形, 且面积为 $2 \sqrt{3}$, 则圆锥的体积为
$\text{A.}$ $4 \sqrt{3} \pi$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{6}}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{8 \sqrt{3} \pi}{3}$
$\text{D.}$ $8 \sqrt{3} \pi$
已知三棱雉 $O-A B C$ 中, 点 $M, N$ 分别为 $A B, O C$ 的中点, 且 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O C}=\boldsymbol{c}$, 则 $\overrightarrow{N M}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$
若四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的所有棱长均为 2 , 且 $\angle A_1 A B=\angle A_1 A D=\angle B A D=60^{\circ}$, 则 $A_1$ 到平面 $A B C D$ 的距离为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
若圆雉的侧面展开图为一个半圆面, 则它的底面面积与侧面面积之比是
$\text{A.}$ $\sqrt{2}: 1$
$\text{B.}$ $2: 1$
$\text{C.}$ $1: \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $1: 2$
已知侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正四棱雉各顶点都在同一球面上. 若该球的表面积为 $36 \pi$, 则该正四 棱雉的体积为
$\text{A.}$ $\frac{16}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{8}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{32}{3}$
如图所示, 正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $P$ 是 $A_1 C_1$ 上的 动点, 则下列直线中, 始终与直线 $B P$ 异面的是
$\text{A.}$ $D D_1$
$\text{B.}$ $A C$
$\text{C.}$ $A D_1$
$\text{D.}$ $B_1 C$
在四棱锥 $S-A B C D$ 中, $S C \perp$ 平面 $A B C D, A B / / C D, A B \perp A D, A D=C D=1, S D=$ $A B=2$, 点 $E$ 为 $S B$ 的中点, 则异面直线 $S D$ 与 $C E$ 所成角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$
如图, 已知长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的体积为 $16, A B=$ $2 A A_1=2 B C, A D_1$ 与 $A_1 D$ 相交于点 $E$, 则三棱锥 $E-A C D$ 的外接球的表面积为
$\text{A.}$ $12 \pi$
$\text{B.}$ $16 \pi$
$\text{C.}$ $20 \pi$
$\text{D.}$ $36 \pi$
我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深人的研究, 从其中一些数 学用语可见, 譬如 “阳马” 意指底面为矩形, 一侧棱垂直于底面的四棱 锥. 某 “阳马” 的三视图如图 2 所示, 则它的最长侧棱与底面所成角的正 切值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $1$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $E$ 为 $B C$ 的中点, 则异面直线 $A_1 C$ 与 $B_1 E$ 所成角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
如图, 青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体, 下半部分可以近似看作两个圆台的组合体, 已知 $A B=9 \mathrm{~cm}, C D=3 \mathrm{~cm}$, 则该青铜器的表面积为 (假设上、下底面圆是封闭的)
$\text{A.}$ $\frac{(36 \sqrt{3}+81) \pi}{2} \mathrm{~cm}^2$
$\text{B.}$ $(18 \sqrt{3}+58) \pi \mathrm{cm}^2$
$\text{C.}$ $\frac{(24 \sqrt{3}+81) \pi}{2} \mathrm{~cm}^2$
$\text{D.}$ $(18 \sqrt{3}+36) \pi \mathrm{cm}^2$
如图, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$, 四边形 $A B C D$ 是矩形, $P A=P D=$ $\sqrt{2} A B, E, F$ 分别是棱 $B C, P D$ 的中点, 则异面直线 $E F$ 与 $A B$ 所成角的余弦值是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$
如图 1 所示, 四边形 $A B C D$ 是边长为 2 的正方形, 点 $E 、 F 、 M$ 分别为线段 $B C$ 、 $C D 、 B E$ 的中点, 分别沿 $A E 、 A F$ 及 $E F$ 所 在直线把 $\triangle A E B, \triangle A F D$ 和 $\triangle E F C$ 折起, 使$B 、 C 、 D$ 三点重合于点 $P$, 得到如图 2 所示的三棱锥 $P-A E F$, 则下列结论中正确的有
$\text{A.}$ 点 $P$ 在平面 $A E F$ 上的投影为 $\triangle A E F$ 的外心
$\text{B.}$ 直线 $A M$ 与平面 $P E F$ 所成角的正切值为 2
$\text{C.}$ 三棱锥 $P-A E F$ 的内切球半径为 $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 过点 $M$ 的平面截三棱锥 $P-A E F$ 的外接球所得截面的面积的取值范围为 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$
如图, 在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $E, F$ 分别是棱 $B_1 B, B_1 C_1$ 的 中点, 则过线段 $B D$ 且垂直于平面 $A_1 E F$ 的截面图形为
$\text{A.}$ 等腰梯形
$\text{B.}$ 三角形
$\text{C.}$ 正方形
$\text{D.}$ 矩形
如图, 直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$, 垂足为 $O$, 正四面体 $A B C D$ (所有棱长都 相等的三棱锥) 的棱长为 $2, C$ 在平面 $\alpha$ 内, $B$ 是直线 $l$ 上的动 点, 当 $O$ 到 $A D$ 的距离最大时, 该正四面体在平面 $\alpha$ 上的射影 面积为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
在矩形 $A B C D$ 中, 已知 $A B=2 A D=4, E$ 是 $A B$ 的中点, 将 $\triangle A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成 $\triangle A_1 D E$, 连接 $A_1 C$. 当二面角 $A_1-D E-C$ 的平面角的大小为 $60^{\circ}$ 时, 则三棱雉 $A_1-C D E$ 外接 球的表面积为
$\text{A.}$ $\frac{56 \pi}{3}$
$\text{B.}$ $18 \pi$
$\text{C.}$ $19 \pi$
$\text{D.}$ $\frac{53 \pi}{3}$
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 已知 $A A_1=7$, 点 $O$ 在棱 $A A_1$ 上, 且 $A O=4, P$ 为 正方体表面上的动点, 若 $P O=5$, 则点 $P$ 的轨迹长度为
$\text{A.}$ $\frac{15 \pi}{2}$
$\text{B.}$ $(4+3 \sqrt{2} \pi)$
$\text{C.}$ $\frac{17 \pi}{2}$
$\text{D.}$ $(4+3 \sqrt{3}) \pi$
已知圆锥 $D O$ 的轴截面为等边三角形, $\triangle A B C$ 是底面 $\odot O$ 的内接正三角形, 点 $P$ 在 $D O$ 上, 且 $P O=\lambda D O$. 若 $P A \perp$ 平面 $P B C$, 则实数 $\lambda= $
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$
校举行“云翔杯”学生篮球比赛, 统计部分班级的得分数据如下:
$\text{A.}$ 得分的中位数为 28
$\text{B.}$ 得分的极差为 8
$\text{C.}$ 得分的众数为 34
$\text{D.}$ 得分的平均数为 31
$\left(1+\frac{1}{x^3}\right)(1+x)^7$ 展开式中 $x^3$ 项的系数为
$\text{A.}$ 42
$\text{B.}$ 35
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 1
某次数学考试后, 为分析学生的学习情况, 某校从某年级中随机抽取了 100 名学生的成绩, 整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况, 计算得到这 100 名学生中, 成绩位于 $[80,90)$ 内的学生成绩方差为 12 , 成绩位于 $[90,100)$ 内的同学成绩方差为 10 . 则
参考公式: 样本划分为 2 层, 各层的容量、平均数和方差分别为: $m, \bar{x}, s_1^2 ; n, \bar{y}, s_2^2$. 记样本平均数为 $\bar{\omega}$, 样本方差为 $s^2, s^2=\frac{m}{m+n}\left[s_1^2+(\bar{x}-\bar{\omega})^2\right]+\frac{n}{m+n}\left[s_2^2+(\bar{y}-\bar{\omega})^2\right]$
$\text{A.}$ $a=0.004$
$\text{B.}$ 估计该年级学生成绩的中位数为 77.14
$\text{C.}$ 估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50
$\text{D.}$ 估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为 30.25
将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行, 则 2 个 0 不相邻的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
甲乙丙丁戊 5 名同学坐成一排参加高考调研, 若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为
$\text{A.}$ 36 种
$\text{B.}$ 48 种
$\text{C.}$ 54 种
$\text{D.}$ 64 种
$(x-\sqrt{x})^4$ 的二项展开式中 $x^3$ 的系数为
$\text{A.}$ 15
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ -13
从 3 名男生和 3 名女生中任意抽取两人, 设事件 $A=$ “抽到的两人都是男生”, 事件 $B=$ “抽到 1 名男生与 1 名女生”, 则
$\text{A.}$ 在有放回简单随机抽样方式下, $P(A)=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 在不放回简单随机抽样方式下, $P(B)=\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ 在按性别等比例分层抽样方式下, $P(A)=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 在按性别等比例分层抽样方式下, $P(B)=1$
四名同学各掷㴮子 5 次, 分别记录每次骰子出现的点数, 根据四名同学各自的统计结果的数字特征, 可以判断出一定没有出现点数 6 的是
$\text{A.}$ 中位数为 3 , 众数为 3
$\text{B.}$ 平均数为 3 , 中位数为 3
$\text{C.}$ 中位数为 2 , 极差为 2
$\text{D.}$ 平均数为 2 , 标准差为 2
已知随机变量 $X$ 服从两点分布, $E(X)=0.6$, 则其成功概率为
$\text{A.}$ 0.3
$\text{B.}$ 0.4
$\text{C.}$ 0.5
$\text{D.}$ 0.6
【书本 P96 例 3 改编】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著, 根据贝叶斯统计理论, 随机事件 A, $B$ 存在如下关系: $P(A \mid B)=\frac{P(A) P(B \mid A)}{P(B)}$. 若某地区一种疾病的患病率是 0.05 , 现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为 $95 \%$, 即在被检验者患病的前提下用该试剂检测, 有 $95 \%$ 的可能呈现阳性; 该试剂的误报率为 $0.5 \%$, 即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测, 有 $0.5 \%$ 的可能会误报阳性. 现随机抽取该地区的一个被检验者, 已知检验结果呈现阳性, 则此人患病的概率为
$\text{A.}$ $\frac{495}{1000}$
$\text{B.}$ $\frac{995}{1000}$
$\text{C.}$ $\frac{10}{11}$
$\text{D.}$ $\frac{21}{22}$
【概率第 10 课时改编】某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩 $X$ (满分 150 分) 服从正态分布 $N(100,100)$, 其中考试成绩 130 分及以上者为优秀, 考试成绩 90 分及以上者为及格. 已知优秀的人数为 13, 本次考试成绩及格的人数大约为（）
附: $P(\mu+\sigma < X < \mu+\sigma)=0.6826, P(\mu+2 \sigma < X < \mu+2 \sigma)=0.9544, P(\mu+3 \sigma < X < \mu+3 \sigma)=0.9974$.
$\text{A.}$ 3413
$\text{B.}$ 1587
$\text{C.}$ 8413
$\text{D.}$ 6826