坐标平面上的三个向量$ \vec{a}=(2,4), \quad \vec{b}=(2,8), \quad \vec{c}=(1,0)$
对于两个向量 $\vec{p}, \vec{q}$ 满足$
(\vec{p}-\vec{a}) \cdot(\vec{p}-\vec{b})=0, \quad \vec{q}=\frac{1}{2} \vec{ a}+t \vec{c}
$ ， t是一个实数，求 $|\vec{p}-\vec{q}|$ 的最小值是多少？
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ 3
$\frac{7}{2}$