一、单选题 （共 36 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点, 若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满 足 $|\mathrm{PB}| \leq 2 \mathrm{~b}$, 则 $\mathrm{C}$ 的离心率的取值范围是 （ ）
$\text{A.}$ $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
如图, 在平行六面体 (底面为平行四边形的四棱柱) $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $E$ 为 $B C$ 延长线上一点, $\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{C E}$, 则 $\overrightarrow{D_1 E}$ 为
$\text{A.}$ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A_1}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A A_1}$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A_1}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A A_1}$
在二面角的棱上有两个点 $A 、 B$, 线段 $A C 、 B D$ 分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱 $A B$, 若 $A B=1$, $A C=2, B D=3, C D=2 \sqrt{2}$, 则这个二面角的大小为
$\text{A.}$ $30^{\circ}$
$\text{B.}$ $45^{\circ}$
$\text{C.}$ $60^{\circ}$
$\text{D.}$ $90^{\circ}$
某玻璃制品厂需要生产一种如图 1 所示的玻璃杯, 该玻璃杯造型可以近似看成是一个 圆柱挖去一个圆台得到, 其近似模型的直观图如图 2 所示 (图中数据单位为 $\mathrm{cm}$ ), 则该 坡璃杯近似模型的体积 (单位: $\mathrm{cm}^3$ ) 为
$\text{A.}$ $\frac{43 \pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{47 \pi}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{51 \pi}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{55 \pi}{6}$
已知 $A, B, C, D$ 是半径为 $\sqrt{5}$ 的球体表面上的四点, $A B=2, \angle A C B=90^{\circ}, \angle A D B=30^{\circ}$, 则 平面 $C A B$ 与平面 $D A B$ 的夹角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
已知圆锥的母线长为 1 , 其侧面展开图是一个圆心角为 $120^{\circ}$ 的扇形, 则该圆锥的轴截面面积为
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{9}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{9}$
如图，在棱长为1的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M$是$A_1B_1$的中点，点$P$是侧面$CDD_1C_1$上的动点，且$MP//AB_1C$, 则线段$MP$长度的取值范围为
$\text{A.}$ $\left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[1, \frac{\sqrt{6}}{2}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{3}{2}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\sqrt{2}, \frac{3}{2}\right]$
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$, 则
$\text{A.}$ $A C / /$ 平面 $B A_1 C_1$
$\text{B.}$ $D_1 O / /$ 平面 $B A_1 C_1$
$\text{C.}$ 平面 $A C D_1 / /$ 平面 $B A_1 C_1$
$\text{D.}$ 平面 $O D D_1 / /$ 平面 $B A_1 C_1$
四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形, 点 $E 、 F$ 分别为 $P C 、 A D$ 的中点, 连接 $B F$ 交 $C D$ 的延长线于点 $G$, 平面 $B G E$ 将四棱雉 $P-A B C D$ 分成两部分的体积分别为 $V_1, V_2$ 且满足 $V_1>V_2$, 则 $\frac{V_1}{V_2}=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{4}$
在四面体 $A B C D$ 中, $A B \perp B C, A B=1, A D=C D=2 \sqrt{2}, B C=\sqrt{15}$, 则四面体 $A B C D$ 外接球的体积为
$\text{A.}$ $16 \pi$
$\text{B.}$ $\frac{16 \pi}{3}$
$\text{C.}$ $32 \pi$
$\text{D.}$ $\frac{32 \pi}{3}$
已知 $A B=2$, 空间内一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=2$, 则 $\cos \angle A P B$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
已知三棱锥 $S-A B C$ 如图所示, $A S, A B, A C$ 两两垂直, 且 $|A S|=|A B|=|A C|=2 \sqrt{2}$, 点 $E, F$ 分别是棱 $A S, B S$ 的中点, 点 $G$ 是棱 $S C$靠近点 $C$ 的四等分点, 则空间几何体 $E F G-A B C$ 的体积为
$\text{A.}$ $\frac{11 \sqrt{2}}{6}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{13 \sqrt{2}}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{7 \sqrt[3]{2}}{3}$
已知棱长为 1 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $P$ 为线段 $A_1 C$ 上一动点, 则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 存在点 $P$, 使得 $C_1 P / / A B_1$
$\text{B.}$ 三棱椎 $P-B C_1 D$ 的外接球半径最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{C.}$ 当 $P$ 为 $A_1 C$ 的中点时, 过 $P$ 与平面 $B C_1 D$ 平行的平面截正方体所得的截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\text{D.}$ 存在点 $P$, 使得点 $P$ 到直线 $B_1 C_1$ 的距离为 $\frac{4}{5}$
已知棱长为 1 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $P$ 为线段 $A_1 C$ 上一动点, 则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 存在点 $P$, 使得 $C_1 P / / A B_1$
$\text{B.}$ 三棱椎 $P-B C_1 D$ 的外接球半径最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{C.}$ 当 $P$ 为 $A_1 C$ 的中点时, 过 $P$ 与平面 $B C_1 D$ 平行的平面截正方体所得的截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\text{D.}$ 存在点 $P$, 使得点 $P$ 到直线 $B_1 C_1$ 的距离为 $\frac{4}{5}$
某几何体的三视图如图 1 所示, 则该几何体的侧面积为
$\text{A.}$ $\frac{1+2 \sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3+2 \sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+1}{2}$
已知边长为 $\sqrt{3}$ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 点 $Q$ 为 $\triangle A_1 B C_1$ 内一个动点, 且满足 $Q B_1=\sqrt{2}$, 则点 $Q$ 的轨迹长度
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{3 \pi}{2}$
$\text{D.}$ $2 \pi$
将半径为 3 , 圆心角为 $\frac{2}{3} \pi$ 的扇形卷成一个圆锥的侧面, 则圆锥的体积为
$\text{A.}$ $\sqrt{2} \pi$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{2}}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{3}$
一个正四棱台形油槽可以装煤油${190000}{cm^3}$,其上、下底面边长分别为60cm和40cm,则该油槽的深度为
$\text{A.}$ $\dfrac{75}{4}cm$
$\text{B.}$ $25cm$
$\text{C.}$ $50cm$
$\text{D.}$ $75cm$
如图, $O A B C-D E F G$ 为一正方体, 试问向量外积 $\overrightarrow{A D} \times \overrightarrow{A G}$ 与下列哪一个向量平行?
$\text{A.}$ $\overrightarrow{A E}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{B E}$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{C E}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{O E}$
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的 8 个顶点中任取 4 个点, 能构成正三棱椎的个数为
$\text{A.}$ 16 个
$\text{B.}$ 12 个
$\text{C.}$ 10 个
$\text{D.}$ 8 个
如图所示的四棱椎 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为正方形, 且各棱长均相等, $E$ 是 $P B$ 的中点, 则异面直线 $A E$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$
已知平面 $\alpha, \beta$, 直线 $l \subset \alpha$, 直线 $m$ 不在平面 $\alpha$ 上, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha / / \beta, m / / \beta$, 则 $l / / m$
$\text{B.}$ 若 $\alpha / / \beta, m \perp \beta$, 则 $l \perp m$
$\text{C.}$ 若 $l / / m, \alpha / / \beta$, 则 $m / / \beta$
$\text{D.}$ 若 $l \perp m, m / / \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
已知矩形 $A B C D$ 中, $A B=2, B C=1$, 将 $\triangle C B D$ 沿 $B D$ 折起至 $\square C^{\prime} B D$, 当 $C^{\prime} B$ 与 $A D$ 所成角最大时, 三棱椎 $C^{\prime}-A B D$ 的体积等于
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
在四面体 $O-A B C$ 中, $\overrightarrow{O P}=2 \overrightarrow{P A}, Q$ 是 $B C$ 的中点, 且 $M$ 为 $P Q$ 的中点, 若 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}$,
则 $\overrightarrow{O M}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4} \vec{a}+\frac{1}{6} \vec{b}+\frac{1}{6} \vec{c}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{1}{4} \vec{b}+\frac{1}{3} \vec{c}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{6} \vec{b}+\frac{1}{4} \vec{c}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} \vec{a}+\frac{1}{4} \bar{b}+\frac{1}{4} \bar{c}$
已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a}$, 平面 $a$ 的法向量为 $\vec{n}$, 若 $\vec{a}=(-1,0,-1), \vec{n}=(1,0,1)$, 则直线 $l$ 与平面 $a$
$\text{A.}$ 垂直
$\text{B.}$ 平行
$\text{C.}$ 相交但不垂直
$\text{D.}$ 位置关系无法解定
已知直线 $l 、 m 、 n$ 与平面 $\alpha 、 \beta$, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha / / \beta, l \subset \alpha, n \subset \beta$, 则 $l / / n$
$\text{B.}$ 若 $\alpha \perp \beta, l \subset \alpha$, 则 $l \perp \beta$
$\text{C.}$ 若 $l \perp n, m \perp n$, 则 $l / / m$
$\text{D.}$ 若 $l \perp \alpha, l / / \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
已知 $m, n$ 表示两条不同直线, $\alpha$ 表示平面, 则
$\text{A.}$ 若 $m / / \alpha, n / / \alpha$, 则 $m / / n$
$\text{B.}$ 若 $m \perp \alpha, n \subset \alpha$, 则 $m \perp n$
$\text{C.}$ 若 $m \perp \alpha, m \perp n$, 则 $n / / \alpha$
$\text{D.}$ 若 $m / / \alpha, m \perp n$, 则 $n \perp \alpha$
中国古建筑的屋檐下常系挂风铃, 风吹铃动, 悦耳清脆, 亦称惊鸟铃. 若一个惊鸟铃由铜铸造而成, 且可近似看作由一个较大的圆椎挖去一个较小的圆椎, 两圆椎的轴在同一条直线上, 截面图如下, 其中 $O_1 O_3=20 \mathrm{~cm}, O_1 O_2=2 \mathrm{~cm}, A B=16 \mathrm{~cm}$, 若不考虑铃舌, 则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是 (参考数据: $\pi \approx 3$, 铜的密度为 $8.96 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ )
$\text{A.}$ 1kg
$\text{B.}$ 2kg
$\text{C.}$ 3kg
$\text{D.}$ 0.5kg
已知圆柱的底面半径为 1 , 高为 $2, A B, C D$ 分别为上、下底面圆的直径, 四面体 $A B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$,则直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
有很多立体图形都体现了数学的对称美, 其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体, 半正多面体因其最早由阿基米德研究发现, 故也被称作阿基米德体.如图, 这是一个棱数为 24 , 棱长为 $\sqrt{2}$ 的半正多面体, 它的所有顶点都在同一个正方体的表面上, 可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点 $E$ 为线段 $B C$ 上的动点, 则直线 $D E$ 与直线 $A F$ 所成角的余弦值的取值范围为
$\text{A.}$ $\left[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
生活中很多常见的工具有独特的几何体结构特征, 例如垃圾箕, 其结构如图所示的五面体 $A D E-B C F$, 其中四边形 $A B F E$ 与 $C D E F$ 都为等腰梯形, $A B C D$ 为平行四边形. 若 $A D \perp$平面 $A B F E$, 且 $E F=2 A B=2 A E=2 B F$, 记三棱锥体 $D-A B F$ 的体积为 $V_1$, 则该五面体的体积为
$\text{A.}$ $3V_1$
$\text{B.}$ $5V_1$
$\text{C.}$ $4V_1$
$\text{D.}$ $6V_1$
已知 $m, n$ 是不同的直线, $\alpha, \beta$ 是不同的平面, 则
$\text{A.}$ 若 $\alpha / / \beta, m / / \alpha, n / / \beta$, 则 $m / / n$
$\text{B.}$ 若 $\alpha / / \beta, m \perp \alpha, n / / \beta$, 则 $m / / n$
$\text{C.}$ 若 $\alpha \perp \beta, m \perp \alpha, n \perp \beta$, 则 $m \perp n$
$\text{D.}$ 若 $\alpha \perp \beta, m / / \alpha, n / / \beta$, 则 $m \perp n$
已知圆锥的顶点为 $S, O$ 为底面圆心, 母线 $S A$ 与 $S B$ 互相垂直, $\square S A B$ 的面积为 $8, S A$ 与圆锥底面所成的角为 $30^{\circ}$, 则
$\text{A.}$ 圆锥的高为 1
$\text{B.}$ 圆锥的体积为 $24 \pi$
$\text{C.}$ 圆椎侧面展开图的圆心角为 $\frac{2 \sqrt{3} \pi}{3}$
$\text{D.}$ 二面角 $S-A B-O$ 的大小为 $45^{\circ}$
已知四棱椎 $P-A B C D$ 的各顶点在同一球面上, 若 $A D=2 A B=2 B C=2 C D=4$, $\triangle P A B$ 为正三角形, 且面 $P A B \perp$ 面 $A B C D$, 则该球的表面积为
$\text{A.}$ $\frac{13}{3} \pi$
$\text{B.}$ $16 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{52}{3} \pi$
$\text{D.}$ $20 \pi$
已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱椎, 四条侧棱分别为 $4,4,2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$, 求该四棱椎的高.
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}, \sqrt{3} \sqrt{6}$, 这个长方体对角线的长是
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ $\sqrt{6}$
二、多选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
已知 $m, n$ 是两条不重合的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不重合的平面, 下列命题 不正确的是
$\text{A.}$ 若 $m / / \alpha, m / / \beta, n / / \alpha, n / / \beta$, 则 $\alpha / / \beta$
$\text{B.}$ 若 $m \perp n, m / / \alpha, n \perp \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
$\text{C.}$ 若 $m \perp n, m \subset \alpha, n \subset \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
$\text{D.}$ 若 $m / / n, m \perp \alpha, n \perp \beta$, 则 $\alpha / / \beta$
菱形 $A B C D$ 的边长为 $a$, 且 $\angle B A D=60^{\circ}$, 将 $\triangle A B D$ 沿 $B D$ 向上翻折得到 $\triangle P B D$, 使二 面角 $P-B D-C$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$, 连接 $P C$, 球 $O$ 与三棱雉 $P-B C D$ 的 6 条棱都相切, 下列结论正确的是
$\text{A.}$ $P O \perp$ 平面 $B C D$
$\text{B.}$ 球 $O$ 的表面积为 $2 \pi a^2$
$\text{C.}$ 球 $O$ 被三棱雉 $P-B C D$ 表面截得的截面周长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \pi a$
$\text{D.}$ 过点 $O$ 与直线 $P B, C D$ 所成角均为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线可作 4 条
正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $E, F$ 分别是棱 $A B, B C$ 上的动点 (不含端点), 且 $A E=B F$,则
$\text{A.}$ $A_1 F$ 与 $A D$ 的距离是定值
$\text{B.}$ 存在点 $F$ 使得 $A_1 F$ 和平面 $A C D_1$ 平行
$\text{C.}$ $A_1 F \perp C_1 E$
$\text{D.}$ 三棱椎 $B_1-B E F$ 的外接球体积有最小值
某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台(1), (2), (3), 从左往右, 若上底面边长、下底面边长、高均依次递增 $d \mathrm{~cm}$, 记正四棱台(1), (2), (3)的侧棱与底面所成的角分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, 正四棱台(1),(2),(3)的侧面与底面所成的角分别为 $\theta_1, \theta_2, \theta_3$, 则
$\text{A.}$ $\sin \alpha_1+\sin \alpha_3=2 \sin \alpha_2$
$\text{B.}$ $\tan \alpha_1+\tan \alpha_3=2 \tan \alpha_2$
$\text{C.}$ $\cos \theta_1+\cos \theta_3=2 \cos \theta_2$
$\text{D.}$ $\tan \theta_1+\tan \theta_3=2 \tan \theta_2$