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试卷3

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 36 题），每题只有一个选项正确

1. 设

B

是椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的上顶点, 若

C

上的任意一点

P

都满足

| PB | \leq 2 b

, 则

C

的离心率的取值范围是（　　）

A.

[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)

B.

[\frac{1}{2}, 1)

C.

(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]

D.

(0, \frac{1}{2}]

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2. 如图, 在平行六面体 (底面为平行四边形的四棱柱)

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

E

为

B C

延长线上一点,

\vec{B C} = 2 \vec{C E}

, 则

\vec{D_{1} E}

为

A.

\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}

B.

\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} - \vec{A A_{1}}

C.

\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}

D.

\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} - \vec{A A_{1}}

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3. 在二面角的棱上有两个点

A 、 B

, 线段

A C 、 B D

分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱

A B

, 若

A B = 1

A C = 2, B D = 3, C D = 2 \sqrt{2}

, 则这个二面角的大小为

A.

30^{\circ}

B.

45^{\circ}

C.

60^{\circ}

D.

90^{\circ}

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4. 某玻璃制品厂需要生产一种如图 1 所示的玻璃杯, 该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到, 其近似模型的直观图如图 2 所示 (图中数据单位为

cm

), 则该坡璃杯近似模型的体积 (单位:

{cm}^{3}

) 为

A.

\frac{43 π}{6}

B.

\frac{47 π}{6}

C.

\frac{51 π}{6}

D.

\frac{55 π}{6}

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5. 已知

A, B, C, D

是半径为

\sqrt{5}

的球体表面上的四点,

A B = 2, ∠ A C B = 90^{\circ}, ∠ A D B = 30^{\circ}

, 则平面

C A B

与平面

D A B

的夹角的余弦值为

A.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{\sqrt{3}}{3}

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6. 已知圆锥的母线长为 1 , 其侧面展开图是一个圆心角为

120^{\circ}

的扇形, 则该圆锥的轴截面面积为

A.

\frac{2 \sqrt{5}}{9}

B.

\frac{2 \sqrt{2}}{9}

C.

\frac{\sqrt{5}}{9}

D.

\frac{\sqrt{2}}{9}

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7. 如图，在棱长为1的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中，

M

是

A_{1} B_{1}

的中点，点

P

是侧面

C D D_{1} C_{1}

上的动点，且

M P / / A B_{1} C

, 则线段

M P

长度的取值范围为

A.

[\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}]

B.

[1, \frac{\sqrt{6}}{2}]

C.

[\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{3}{2}]

D.

[\sqrt{2}, \frac{3}{2}]

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8. 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

A C

与

B D

交于点

O

, 则

A.

A C / /

平面

B A_{1} C_{1}

B.

D_{1} O / /

平面

B A_{1} C_{1}

C.

平面

A C D_{1} / /

平面

B A_{1} C_{1}

D.

平面

O D D_{1} / /

平面

B A_{1} C_{1}

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9. 四棱锥

P - A B C D

的底面

A B C D

是平行四边形, 点

E 、 F

分别为

P C 、 A D

的中点, 连接

B F

交

C D

的延长线于点

G

, 平面

B G E

将四棱雉

P - A B C D

分成两部分的体积分别为

V_{1}, V_{2}

且满足

V_{1} > V_{2}

, 则

\frac{V_{1}}{V_{2}} =

A.

\frac{4}{3}

B.

\frac{7}{5}

C.

\frac{5}{3}

D.

\frac{7}{4}

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10. 在四面体

A B C D

中,

A B ⊥ B C, A B = 1, A D = C D = 2 \sqrt{2}, B C = \sqrt{15}

, 则四面体

A B C D

外接球的体积为

A.

16 π

B.

\frac{16 π}{3}

C.

32 π

D.

\frac{32 π}{3}

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11. 已知

A B = 2

, 空间内一点

P

满足

\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 2

, 则

\cos ∠ A P B

的最小值为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{3}{5}

C.

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

\frac{4}{5}

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12. 已知三棱锥

S - A B C

如图所示,

A S, A B, A C

两两垂直, 且

| A S | = | A B | = | A C | = 2 \sqrt{2}

, 点

E, F

分别是棱

A S, B S

的中点, 点

G

是棱

S C

靠近点

C

的四等分点, 则空间几何体

E F G - A B C

的体积为

A.

\frac{11 \sqrt{2}}{6}

B.

2 \sqrt{2}

C.

\frac{13 \sqrt{2}}{6}

D.

\frac{7 \sqrt[3]{2}}{3}

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13. 已知棱长为 1 的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

P

为线段

A_{1} C

上一动点, 则下列判断正确的是

A.

存在点

P

, 使得

C_{1} P / / A B_{1}

B.

三棱椎

P - B C_{1} D

的外接球半径最小值为

\frac{\sqrt{6}}{3}

C.

当

P

为

A_{1} C

的中点时, 过

P

与平面

B C_{1} D

平行的平面截正方体所得的截面面积为

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

D.

存在点

P

, 使得点

P

到直线

B_{1} C_{1}

的距离为

\frac{4}{5}

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14. 已知棱长为 1 的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

P

为线段

A_{1} C

上一动点, 则下列判断正确的是

A.

存在点

P

, 使得

C_{1} P / / A B_{1}

B.

三棱椎

P - B C_{1} D

的外接球半径最小值为

\frac{\sqrt{6}}{3}

C.

当

P

为

A_{1} C

的中点时, 过

P

与平面

B C_{1} D

平行的平面截正方体所得的截面面积为

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

D.

存在点

P

, 使得点

P

到直线

B_{1} C_{1}

的距离为

\frac{4}{5}

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15. 某几何体的三视图如图 1 所示, 则该几何体的侧面积为

A.

\frac{1 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{5}}{2}

B.

\frac{3 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{5}}{2}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + 1}{2}

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16. 已知边长为

\sqrt{3}

的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

, 点

Q

为

△ A_{1} B C_{1}

内一个动点, 且满足

Q B_{1} = \sqrt{2}

, 则点

Q

的轨迹长度

A.

\frac{π}{2}

B.

π

C.

\frac{3 π}{2}

D.

2 π

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17. 将半径为 3 , 圆心角为

\frac{2}{3} π

的扇形卷成一个圆锥的侧面, 则圆锥的体积为

A.

\sqrt{2} π

B.

\frac{2 \sqrt{2}}{3} π

C.

π

D.

\frac{π}{3}

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18. 一个正四棱台形油槽可以装煤油

190000 c m^{3}

,其上、下底面边长分别为60cm和40cm,则该油槽的深度为

A.

\frac{75}{4} c m

B.

25 c m

C.

50 c m

D.

75 c m

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19. 如图,

O A B C - D E F G

为一正方体, 试问向量外积

\vec{A D} \times \vec{A G}

与下列哪一个向量平行?

A.

\vec{A E}

B.

\vec{B E}

C.

\vec{C E}

D.

\vec{O E}

E.

\vec{D E}

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20. 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的 8 个顶点中任取 4 个点, 能构成正三棱椎的个数为

A.

16 个

B.

12 个

C.

10 个

D.

8 个

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21. 如图所示的四棱椎

P - A B C D

中, 底面

A B C D

为正方形, 且各棱长均相等,

E

是

P B

的中点, 则异面直线

A E

与

B D

所成角的余弦值为

A.

1

B.

\frac{\sqrt{2}}{2}

C.

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

\frac{\sqrt{6}}{6}

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22. 已知平面

α, β

, 直线

l \subset α

, 直线

m

不在平面

α

上, 下列说法正确的是

A.

若

α / / β, m / / β

, 则

l / / m

B.

若

α / / β, m ⊥ β

, 则

l ⊥ m

C.

若

l / / m, α / / β

, 则

m / / β

D.

若

l ⊥ m, m / / β

, 则

α ⊥ β

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23. 已知矩形

A B C D

中,

A B = 2, B C = 1

, 将

△ C B D

沿

B D

折起至

◻ C^{'} B D

, 当

C^{'} B

与

A D

所成角最大时, 三棱椎

C^{'} - A B D

的体积等于

A.

\frac{\sqrt{3}}{6}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{2 \sqrt{5}}{15}

D.

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

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24. 在四面体

O - A B C

中,

\vec{O P} = 2 \vec{P A}, Q

是

B C

的中点, 且

M

为

P Q

的中点, 若

\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}

,
则

\vec{O M} =

A.

\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}

B.

\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}

C.

\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}

D.

\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{4} \bar{b} + \frac{1}{4} \bar{c}

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25. 已知直线

l

的方向向量为

\vec{a}

, 平面

a

的法向量为

\vec{n}

, 若

\vec{a} = (- 1, 0, - 1), \vec{n} = (1, 0, 1)

, 则直线

l

与平面

a

A.

垂直

B.

平行

C.

相交但不垂直

D.

位置关系无法解定

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26. 已知直线

l 、 m 、 n

与平面

α 、 β

, 下列命题正确的是

A.

若

α / / β, l \subset α, n \subset β

, 则

l / / n

B.

若

α ⊥ β, l \subset α

, 则

l ⊥ β

C.

若

l ⊥ n, m ⊥ n

, 则

l / / m

D.

若

l ⊥ α, l / / β

, 则

α ⊥ β

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27. 已知

m, n

表示两条不同直线,

α

表示平面, 则

A.

若

m / / α, n / / α

, 则

m / / n

B.

若

m ⊥ α, n \subset α

, 则

m ⊥ n

C.

若

m ⊥ α, m ⊥ n

, 则

n / / α

D.

若

m / / α, m ⊥ n

, 则

n ⊥ α

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28. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃, 风吹铃动, 悦耳清脆, 亦称惊鸟铃. 若一个惊鸟铃由铜铸造而成, 且可近似看作由一个较大的圆椎挖去一个较小的圆椎, 两圆椎的轴在同一条直线上, 截面图如下, 其中

O_{1} O_{3} = 20 cm, O_{1} O_{2} = 2 cm, A B = 16 cm

, 若不考虑铃舌, 则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是 (参考数据:

π \approx 3

, 铜的密度为

8.96 g / {cm}^{3}

)

A.

1kg

B.

2kg

C.

3kg

D.

0.5kg

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29. 已知圆柱的底面半径为 1 , 高为

2, A B, C D

分别为上、下底面圆的直径, 四面体

A B C D

的体积为

\frac{4}{3}

,则直线

A C

与

B D

所成角的余弦值为

A.

\frac{\sqrt{5}}{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{3}

D.

\frac{1}{3}

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30. 有很多立体图形都体现了数学的对称美, 其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体, 半正多面体因其最早由阿基米德研究发现, 故也被称作阿基米德体.如图, 这是一个棱数为 24 , 棱长为

\sqrt{2}

的半正多面体, 它的所有顶点都在同一个正方体的表面上, 可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点

E

为线段

B C

上的动点, 则直线

D E

与直线

A F

所成角的余弦值的取值范围为

A.

[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}]

B.

[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}]

C.

[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]

D.

[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]

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31. 生活中很多常见的工具有独特的几何体结构特征, 例如垃圾箕, 其结构如图所示的五面体

A D E - B C F

, 其中四边形

A B F E

与

C D E F

都为等腰梯形,

A B C D

为平行四边形. 若

A D ⊥

平面

A B F E

, 且

E F = 2 A B = 2 A E = 2 B F

, 记三棱锥体

D - A B F

的体积为

V_{1}

, 则该五面体的体积为

A.

3 V_{1}

B.

5 V_{1}

C.

4 V_{1}

D.

6 V_{1}

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32. 已知

m, n

是不同的直线,

α, β

是不同的平面, 则

A.

若

α / / β, m / / α, n / / β

, 则

m / / n

B.

若

α / / β, m ⊥ α, n / / β

, 则

m / / n

C.

若

α ⊥ β, m ⊥ α, n ⊥ β

, 则

m ⊥ n

D.

若

α ⊥ β, m / / α, n / / β

, 则

m ⊥ n

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33. 已知圆锥的顶点为

S, O

为底面圆心, 母线

S A

与

S B

互相垂直,

◻ S A B

的面积为

8, S A

与圆锥底面所成的角为

30^{\circ}

, 则

A.

圆锥的高为 1

B.

圆锥的体积为

24 π

C.

圆椎侧面展开图的圆心角为

\frac{2 \sqrt{3} π}{3}

D.

二面角

S - A B - O

的大小为

45^{\circ}

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34. 已知四棱椎

P - A B C D

的各顶点在同一球面上, 若

A D = 2 A B = 2 B C = 2 C D = 4

△ P A B

为正三角形, 且面

P A B ⊥

面

A B C D

, 则该球的表面积为

A.

\frac{13}{3} π

B.

16 π

C.

\frac{52}{3} π

D.

20 π

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35. 已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱椎, 四条侧棱分别为

4, 4, 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}

, 求该四棱椎的高.

A.

\frac{\sqrt{2}}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

2 \sqrt{3}

D.

\sqrt{3}

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36. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是

\sqrt{2}, \sqrt{3} \sqrt{6}

, 这个长方体对角线的长是

A.

2 \sqrt{3}

B.

3 \sqrt{2}

C.

D.

\sqrt{6}

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

37. 已知

m, n

是两条不重合的直线,

α, β

是两个不重合的平面, 下列命题不正确的是

A.

若

m / / α, m / / β, n / / α, n / / β

, 则

α / / β

B.

若

m ⊥ n, m / / α, n ⊥ β

, 则

α ⊥ β

C.

若

m ⊥ n, m \subset α, n \subset β

, 则

α ⊥ β

D.

若

m / / n, m ⊥ α, n ⊥ β

, 则

α / / β

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38. 菱形

A B C D

的边长为

a

, 且

∠ B A D = 60^{\circ}

, 将

△ A B D

沿

B D

向上翻折得到

△ P B D

, 使二面角

P - B D - C

的余弦值为

\frac{1}{3}

, 连接

P C

, 球

O

与三棱雉

P - B C D

的 6 条棱都相切, 下列结论正确的是

A.

P O ⊥

平面

B C D

B.

球

O

的表面积为

2 π a^{2}

C.

球

O

被三棱雉

P - B C D

表面截得的截面周长为

\frac{4 \sqrt{3}}{3} π a

D.

过点

O

与直线

P B, C D

所成角均为

\frac{π}{4}

的直线可作 4 条

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39. 正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

E, F

分别是棱

A B, B C

上的动点 (不含端点), 且

A E = B F

,则

A.

A_{1} F

与

A D

的距离是定值

B.

存在点

F

使得

A_{1} F

和平面

A C D_{1}

平行

C.

A_{1} F ⊥ C_{1} E

D.

三棱椎

B_{1} - B E F

的外接球体积有最小值

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40. 某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台(1), (2), (3), 从左往右, 若上底面边长、下底面边长、高均依次递增

d cm

, 记正四棱台(1), (2), (3)的侧棱与底面所成的角分别为

α_{1}, α_{2}, α_{3}

, 正四棱台(1),(2),(3)的侧面与底面所成的角分别为

θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}

, 则

A.

\sin α_{1} + \sin α_{3} = 2 \sin α_{2}

B.

\tan α_{1} + \tan α_{3} = 2 \tan α_{2}

C.

\cos θ_{1} + \cos θ_{3} = 2 \cos θ_{2}

D.

\tan θ_{1} + \tan θ_{3} = 2 \tan θ_{2}

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