设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点, 若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满 足 $|\mathrm{PB}| \leq 2 \mathrm{~b}$, 则 $\mathrm{C}$ 的离心率的取值范围是 （ ）
$\text{A.}$ $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$