已知棱长为 1 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $P$ 为线段 $A_1 C$ 上一动点, 则下列判断正确的是
A. 存在点 $P$, 使得 $C_1 P / / A B_1$
B. 三棱椎 $P-B C_1 D$ 的外接球半径最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$
C. 当 $P$ 为 $A_1 C$ 的中点时, 过 $P$ 与平面 $B C_1 D$ 平行的平面截正方体所得的截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
D. 存在点 $P$, 使得点 $P$ 到直线 $B_1 C_1$ 的距离为 $\frac{4}{5}$