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数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 36 题），每题只有一个选项正确

1. 已知三棱雉

S - A B C

的底面

A B C

是等边三角形, 平面

S A C ⊥

平面

A B C, S A = S C, ∠ A S C =

90^{\circ}, M

为

S B

上一点, 且

A M ⊥ B C

. 设三棱雉

S - A B C

外接球球心为

O

, 则

A.

直线

O M ⊥

平面

S A C, O A ⊥ S B

B.

直线

O M / /

平面

S A C, O A ⊥ S B

C.

直线

O M ⊥

平面

S A C

, 平面

O A M ⊥

平面

S B C

D.

直线

O M / /

平面

S A C

, 平面

O A M ⊥

平面

S B C

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2. 圆台的上、下底面半径分别是

r = 1, R = 4

, 圆台的高为 4 , 则该圆台的侧面积

A.

16 π

B.

20 π

C.

25 π

D.

30 π

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3. 已知正四棱雉 (底面为正方形, 且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱雉为正四棱雉)

P - A B C D

的底面正方形边长为 2 , 其内切球

O

的表面积为

\frac{π}{3}

, 动点

Q

在正方形

A B C D

内运动, 且满足

O Q = O P

, 则动点

Q

形成轨迹的周长为

A.

\frac{2 π}{11}

B.

\frac{3 π}{11}

C.

\frac{4 π}{11}

D.

\frac{5 π}{11}

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4. 刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体

已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是

A.

24 \sqrt{2}

B.

24 + 24 \sqrt{2}

C.

24 + 24 \sqrt{5}

D.

24 + 16 \sqrt{2} + 8 \sqrt{5}

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5. 以一个给定的正 2022 边形的 4 个顶点为顶点的梯形称为好梯形，则好梯形的个数为

A.

1009 \cdot 1010 \cdot 1011

B.

1008 \cdot 1009.1010

C.

1000 \cdot 1011 \cdot 1012

D.

其它三个选项均不对

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6. 四面体

A B C D

中,

A B = C D = 3

, 其余棱长均为

4, E, F

分别为

A B, C D

上的点 (不含端点), 则

A.

不存在

E

, 使得

E F ⊥ C D

B.

存在

E

, 使得

D E ⊥ C D

C.

存在

E

, 使得

D E ⊥

平面

A B C

D.

存在

E, F

, 使得平面

C D E ⊥

平面

A B F

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7. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为

O, O^{'}

, 过直线

O O^{'}

的平面截该圆柱所得的面是面积为 8 的正方形, 则该圆柱的表面积为

A.

12 \sqrt{2} π

B.

12 π

C.

8 \sqrt{2} π

D.

10 π

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8. 圆台的上、下底面半径分别是

r = 1, R = 4

, 圆台的高为 4 , 则该圆台的侧面积是

A.

16 π

B.

20 π

C.

25 π

D.

30 π

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9. 如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为

A.

B.

C.

D.

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10. 如图, 在三棱台

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

中,

A A_{1} ⊥

平面

A B C, ∠ A B C = 90^{\circ}, A A_{1} = A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = 1, A B = 2

, 则

A C

与平面

B C C_{1} B_{1}

所成的角为

A.

30^{\circ}

B.

45^{\circ}

C.

60^{\circ}

D.

90^{\circ}

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11. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为

S_{1} 、 S_{2}

, 体积分别为

V_{1} 、 V_{2}

. 若它们的侧面积相等, 且

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{9}{4}

, 则

V_{V_{2}}

的值是

A.

B.

\frac{3}{2}

C.

\frac{4}{3}

D.

\frac{5}{4}

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12. 在四棱雉

P - A B C D

中，底面

A B C D

为正方形，

A B = 4 ， P C = P D = 3 ， ∠ P C A = 45^{\circ}

，则

△ P B C

的面积为

A.

2 \sqrt{2}

B.

3 \sqrt{2}

C.

4 \sqrt{2}

D.

5 \sqrt{2}

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13. 如图, 网格纸上绘制的一个零件的三视图, 网格小正方形的边长为 1 , 则该零件的表面积为

A.

B.

C.

D.

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14. 已知圆锥

P O

的底面半径为

\sqrt{3}, O

为底面圆心,

P A, P B

为圆雉的母线,

∠ A O B = 120^{\circ}

, 若

△ P A B

的面积等于

\frac{9 \sqrt{3}}{4}

, 则该圆锥的体积为

A.

π

B.

\sqrt{6} π

C.

3 π

D.

3 \sqrt{6} π

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15. 已知

△ A B C

为等腰直角三角形,

A B

为斜边,

△ A B D

为等边三角形, 若二面角

C - A B - D

为

150^{\circ}

, 则直线

C D

与平面

A B C

所成角的正切值为

A.

\frac{1}{5}

B.

\frac{\sqrt{2}}{5}

C.

\frac{\sqrt{3}}{5}

D.

\frac{2}{5}

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16. 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

M

为正方形

A B B_{1} A_{1}

内 (含边界) 一动点, 且满足

\vec{A M} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A A_{1}}

, 则直线

M C_{1}

与平面

A A_{1} B

所成角的正弦值的取值范围是

A.

[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]

B.

[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]

C.

[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]

D.

[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}]

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17. 在三棱雉

P - A B C

中, 线段

P C

上的点

M

满足

P M = \frac{1}{3} P C

, 线段

P B

上的点

N

满足

P N = \frac{2}{3} P B

, 则三棱雉

P - A M N

和三棱雉

P - A B C

的体积之比为

A.

\frac{1}{9}

B.

\frac{2}{9}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{4}{9}

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18. 长、宽、高分别为

2, \sqrt{3}, \sqrt{5}

的长方体的外接球的表面积为

A.

4 π

B.

12 π

C.

24 π

D.

48 π

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19. 如图, 长方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

A B = B C = 2

, 若直线

A B_{1}

与平面

A C C_{1} A_{1}

所成的角为

30^{\circ}

, 则直线

B C_{1}

与直线

A C

所成的角为

A.

90^{\circ}

B.

30^{\circ}

C.

45^{\circ}

D.

60^{\circ}

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20. 如图, 平行六面体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的底面

A B C D

是矩形, 其中

A B = 2, A D =

4, A A_{1} = 3

, 且

∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60^{\circ}

, 则线段

A C_{1}

的长为

A.

9

B.

\sqrt{29}

C.

\sqrt{47}

D.

4 \sqrt{3}

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21. 已知正三棱柱

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

的侧棱长为 3 , 底面边长为 2 , 则直线

A B_{1}

与侧面

A C C_{1} A_{1}

所成角的正弦值等于

A.

\frac{\sqrt{39}}{13}

B.

\frac{\sqrt{130}}{13}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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22. 已知球

O

的直径

| P Q | = 4, A, B, C

是球

O

球面上的三点,

△ A B C

是等边三角形, 且

∠ A P Q = ∠ B P Q = ∠ C P Q = 30^{\circ}

, 则三棱椎

P - A B C

的体积为

A.

\frac{9 \sqrt{3}}{4}

B.

\frac{27 \sqrt{3}}{4}

C.

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

D.

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

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23. 已知直线

a, m, n, l

, 且

m, n

为异面直线,

m ⊥

平面

α, n ⊥

平面

β

. 若

l

满足

l ⊥ m

l ⊥ n

, 则下列说法中正确的是

A.

l / / α

B.

l ⊥ β

C.

若

α \cap β = a

, 则

a / / l

D.

α ⊥ β

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24. 过正四面体

A B C D

的顶点

A

作截面, 若满足: (1)截面是等腰三角形: (2)截面与底面

B C D

成

75^{\circ}

的二面角. 这样的截面个数为

A.

B.

C.

D.

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25. 分别以锐角三角形

A B C

的边

A B, B C, A C

为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为

\sqrt{3} : \sqrt{6} : 2

, 则

\cos B =

A.

\frac{5 \sqrt{3}}{12}

B.

\frac{5 \sqrt{2}}{12}

C.

\frac{3 \sqrt{2}}{8}

D.

\frac{\sqrt{6}}{12}

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26. 已知正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的各个顶点都在表面积为

3 π

的球面上, 点

P

为该球面上的任意一点, 则下列结论正确的是

A.

有无数个点

P

, 使得

A P / /

平面

B D C_{1}

B.

有无数个点

P

, 使得

A P ⊥

平面

B D C_{1}

C.

若点

P \in

平面

B C C_{1} B_{1}

, 则四棱相

P - A B C D

的体积的最大值为

\frac{\sqrt{2} + 1}{6}

D.

若点

P \in

平面

B C C_{1} B_{1}

, 则

A P + P C_{1}

的最大值为

\sqrt{6}

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27. 已知正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的棱长为

2, P

为线段

C_{1} D_{1}

上的动点, 则三棱椎

P - B C D

外接球半径的取值范围为

A.

[\frac{\sqrt{29}}{4}, 2]

B.

[\frac{\sqrt{21}}{4}, \sqrt{3}]

C.

[\frac{\sqrt{41}}{1}, \sqrt{3}]

D.

[\frac{\sqrt{7}}{4}, \sqrt{3}]

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28. 公元 656 年, 唐代李淳风注《九章》时提到祖桓的 “开立圆术” . 祖桓在求球的体积时, 使用一个原理： “幂势既同, , 则积不容异” “幕” 是截面积, “势” 是立体的高, 意思是两个同高的立体, 如在等高处的截面积相等, 则体积相等. 更详细点说就是, 介于两个平行平面之间的两个立体, 被任一平行于这两个平面的平面所截, 如果两个截面的面积相等, 则这两个立体的体积相等. 上述原理在中国被称为 “祖峘原理”.

3 D

打印技术发展至今, 已经能够满足少量个性化的打印需求, 现在用

3 D

打印技术打印了一个 “睡美人城堡” . 如图, 其在高度为

h

的水平截面的面积

S

可以近似用函数

S (h) = π (9 - h)^{2}, h \in [0, 9]

拟合, 则该 “睡美人城堡” 的体积约为

A.

27 π

B.

81 π

C.

108 π

D.

243 π

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29. 图 1 是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图, 它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成. 可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成, 且这三个菱形不在一个平面上. 研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形, 图 2 是一个菱形十二面体, 它是由十二个相同的菱形围成的几何体,也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱椎 (如图 3), 且平面

A B C D

与平面

A T B S

的夹角为

45^{\circ}

,则

\cos ∠ A S B =

A.

\frac{\sqrt{2}}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

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30. 设

m, n

是两条不同的直线,

α, β

是两个不同的平面, 则下列命题中正确的是

A.

若

α ⊥ β, m / / α

, 则

m ⊥ β

B.

若

α ⊥ β, m \subset α

, 则

m ⊥ β

C.

若

m / / α, n ⊥ α

, 则

m ⊥ n

D.

若

m ⊥ n, m / / α

, 则

n ⊥ α

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31. 点

P

是边长为 1 的正六边形

A B C D E F

边上的动点, 则

\vec{P A} \cdot \vec{P B}

的最大值为

A.

B.

\frac{11}{4}

C.

D.

\frac{13}{4}

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32. 已知正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

, 过点

A

且以

{\vec{D B}}_{1}

为法向量的平面为

α

, 则

α

截该正方体所得截面的形状为

A.

三角形

B.

四边形

C.

五边形

D.

六边形

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33. 已知

m, n

是异面直线,

m \subset α, n \subset β

, 那么

A.

当

m ⊥ β

, 或

n ⊥ α

时,

α ⊥ β

B.

当

m / / β

, 且

n / / α

时,

α / / β

C.

当

α ⊥ β

时,

m ⊥ β

, 或

n ⊥ α

D.

当

α, β

不平行时,

m

与

β

不平行, 且

n

与

α

不平行

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34. 三棱椎

A - B C D

中,

A B ⊥ B D, A B ⊥ C D, B D ⊥ C D

. 若

A B = 3, A C = 5

, 则该三棱椎体积的最大值为

A.

B.

C.

D.

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35. 在四棱椎

P - A B C D

中,

A D / / B C, A D = 2 B C

, 则下列结论中不成立的是

A.

平面

P A B

内任意一条直线都不与

C D

平行

B.

平面

P C D

内存在无数条直线与平面

P A B

平行

C.

平面

P C D

和平面

P A B

的交线不与底面

A B C D

平行

D.

平面

P B C

和平面

P A D

的交线不与底面

A B C D

平行

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36. 已知点

M

在平面

A B C

内, 并且对于空间任意一点

O

, 都有

\vec{O M} = x \vec{O A} - \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}

, 则

x

的值是

A.

\frac{1}{3}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{2}{3}

D.

\frac{5}{6}

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

37. 三棱锥

P - A B C

中,

A B = 2 \sqrt{2}, B C = 1, A B ⊥ B C

, 直线

P A

与平面

A B C

所成的角为

30^{\circ}

, 直线

P B

与平面

A B C

所成的角为

60^{\circ}

, 则下列说法中正确的有

A.

三棱雉

P - A B C

体积的最小值为

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

三棱锥

P - A B C

体积的最大值为

\frac{\sqrt{6}}{2}

C.

直线

P C

与平面

A B C

所成的角取到最小值时, 二面角

P - B C - A

的平面角为锐角

D.

直线

P C

与平面

A B C

所成的角取到最小值时, 二面角

P - A B - C

的平面角为钝角

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38. 正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的棱长为

1, M

为侧面

A A_{1} D_{1} D

上的点,

N

为侧面

C C_{1} D_{1} D

上的点, 则下列判断正确的是

A.

若

B M = \frac{\sqrt{5}}{2}

, 则

M

到直线

A_{1} D

的距离的最小值为

\frac{\sqrt{2}}{4}

B.

若

B_{1} N ⊥ A C_{1}

, 则

N \in C D_{1}

, 且直线

B_{1} N / /

平面

A_{1} B D

C.

若

M \in A_{1} D

, 则

B_{1} M

与平面

A_{1} B D

所成角正弦的最小值为

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

若

M \in A_{1} D, N \in C D_{1}

, 则

M, N

两点之间距离的最小值为

\frac{\sqrt{3}}{3}

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39. 已知

C D

是圆柱

O O_{1}

下底面圆

O_{1}

的直径, 等腰梯形

A B C D

内接于圆

O_{1}

, 且

2 A D =

C D = O O_{1} = 4

, 若点

Q

为上底面圆

O

内 (含边界) 一点, 则

A.

△ A B Q

的周长为定值

B.

三棱椎

A - B C Q

的体积为定值

C.

三棱椎

O - A C O_{1}

外接球的表面积为

60 π

D.

直线

A Q

与平面

A C O_{1}

所成角的最小值为

45^{\circ}

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40. 如图, 在直四棱柱

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中, 底面

A B C D

为菱形, 且

D E ⊥ A_{1} C

, 垂足为

E

, 则

A.

A A_{1} ⊥ B D

B.

A A_{1} / /

平面

B D E

C.

平面

B D E ⊥

平面

A_{1} C D

D.

B E ⊥

平面

A_{1} C D

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