武汉市2023届高中毕业生四月调研考试数学试卷及参考答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

三棱锥 $P-A B C$ 中, $A B=2 \sqrt{2}, B C=1, A B \perp B C$, 直线 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $30^{\circ}$, 直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $60^{\circ}$, 则下列说法中正确的有

$ \text{A.}$ 三棱雉 $P-A B C$ 体积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $ \text{B.}$ 三棱锥 $P-A B C$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ $ \text{C.}$ 直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成的角取到最小值时, 二面角 $P-B C-A$ 的平面角为锐角 $ \text{D.}$ 直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成的角取到最小值时, 二面角 $P-A B-C$ 的平面角为钝角

0 人点赞纠错

23 次查看我来讲解

答案：

作 $P H \perp$ 平面 $A B C$ ，则 $\frac{A H}{B H}=\frac{\tan 60^{\circ}}{\tan 30^{\circ}}=3$.

设 $H(x, y) ， A(\sqrt{2}, 0) ， B(-\sqrt{2}, 0) ， 9(x+\sqrt{2})^2+y^2=(x-\sqrt{2})^2+y^2$
$$
\Rightarrow x^2+y^2+\frac{5 \sqrt{2}}{2} x+2=0
$$

又有 $P H=\sqrt{3} B H ， B H \in\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right]$ ，圆心 $\left(-\frac{5 \sqrt{2}}{4}, 0\right)$ ，半径 $r^2=\frac{9}{8}$ ，所以 $P H \in\left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{6}\right]$ ，则 $V_{\text {max }}=\frac{1}{3} \times \sqrt{6} \times \sqrt{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $V_{\text {min }}=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{6}}{2} \times \sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，A 正确，B 错误

由 $\frac{B H^2}{C H^2}=\frac{(x+\sqrt{2})^2+y^2}{(x+\sqrt{2})^2+(y-1)^2}=1+\frac{1-2 y}{-\frac{\sqrt{2}}{2} x-2 y+1}=1+\frac{1-\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sin \theta}{\frac{9}{4}-\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sin \theta-\frac{3}{4} \cos \theta}$
当 $\frac{B H}{C H}$ 最小时，有 $H$ 在 $\triangle A B C$ 外部，如图，此时，二面角 $P-B C-A$ 为锐角， $P-A B-C$ 为针角，D 正确.
选: ACD.

关闭页面下载Word格式