在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $M$ 为正方形 $A B B_1 A_1$ 内 (含边界) 一动点, 且满足 $\overrightarrow{A M}=\lambda \overrightarrow{A B}+(1-\lambda) \overrightarrow{A A_1}$, 则直线 $M C_1$ 与平面 $A A_1 B$ 所成角的正弦值的取值范围是
A. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$
B. $\left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
C. $\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$
D. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$