正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $1, M$ 为侧面 $A A_1 D_1 D$ 上的点, $N$ 为侧面 $C C_1 D_1 D$ 上的点, 则下 列判断正确的是
$\text{A.}$ 若 $B M=\frac{\sqrt{5}}{2}$, 则 $M$ 到直线 $A_1 D$ 的距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{B.}$ 若 $B_1 N \perp A C_1$, 则 $N \in C D_1$, 且直线 $B_1 N / /$ 平面 $A_1 B D$
$\text{C.}$ 若 $M \in A_1 D$, 则 $B_1 M$ 与平面 $A_1 B D$ 所成角正弦的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ 若 $M \in A_1 D, N \in C D_1$, 则 $M, N$ 两点之间距离的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$