题号:6502    题型:单选题    来源:2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷
已知三棱雉 $S-A B C$ 的底面 $A B C$ 是等边三角形, 平面 $S A C \perp$ 平面 $A B C, S A=S C, \angle A S C=$ $90^{\circ}, M$ 为 $S B$ 上一点, 且 $A M \perp B C$. 设三棱雉 $S-A B C$ 外接球球心为 $O$, 则
$ \text{A.}$ 直线 $O M \perp$ 平面 $S A C, O A \perp S B$ $ \text{B.}$ 直线 $O M / /$ 平面 $S A C, O A \perp S B$ $ \text{C.}$ 直线 $O M \perp$ 平面 $S A C$, 平面 $O A M \perp$ 平面 $S B C$ $ \text{D.}$ 直线 $O M / /$ 平面 $S A C$, 平面 $O A M \perp$ 平面 $S B C$
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答案：
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A

解析：

第 1 步: 判断 $O A$ 与 $S B$ 的位置关系 如图, 取 $A C$ 的中点 $E, B C$ 的中点 $F$, 连接 $A F, B E$, 设 $A F$ 与 $B E$ 的交点为 $O$, 连接 $O M$, 则 $O$ 为 $\triangle A B C$ 外心, $E$ 为 $\triangle S A C$ 外心, 因为平面 $S A C \perp$ 平面 $A B C$, 所以 $O$ 为三㥄锥 $S-A B C$ 外接球球心, 因为 $S E \perp A C, B E \perp A C, S E \cap B E=E$, 所以 $A C \perp$ 平面 $S B E$, 又 $S B \subset$ 平面 $S B E$, 所以 $A C \perp S B$, 因为 $A C \cap O A=A$, 所以 $O A$ 不垂直于 $S B$; 第 2 步: 判断平面 $O A M$ 与平面 $S B C$ 的位置关系 因为 $A M \perp B C, A F \perp B C, A M \cap A F=\Lambda$, 所以 $B C \perp$ 平面 $A M F$, 来源：高三答案公众号 又 $B C \subset$ 平面 $S B C$, 所以平面 $O A M \perp$ 平面 $S B C$; 第 3 步: 判断直线 $O M$ 与平面 $S A C$ 的位置关系 因为 $A C \perp$ 平面 $S B E$, 所以 $A C \perp O M$, 因为 $B C \perp$ 平面 $A M F$, 所以 $B C \perp O M$, 又 $A C \cap B C=C$, 所以 $O M \perp$ 平面 $A B C$, 又 $S E \perp$ 平面 $A B C$, 所以 $O M / / S E$, 所以直线 $O M / /$ 平面 $S A C$.
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