如图, 直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$, 垂足为 $O$, 正四面体 $A B C D$ (所有棱长都 相等的三棱锥) 的棱长为 $2, C$ 在平面 $\alpha$ 内, $B$ 是直线 $l$ 上的动 点, 当 $O$ 到 $A D$ 的距离最大时, 该正四面体在平面 $\alpha$ 上的射影 面积为
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$