2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知圆锥 $D O$ 的轴截面为等边三角形, $\triangle A B C$ 是底面 $\odot O$ 的内接正三角形, 点 $P$ 在 $D O$ 上, 且 $P O=\lambda D O$. 若 $P A \perp$ 平面 $P B C$, 则实数 $\lambda= $

$ \text{A.}$ $\frac{1}{2}$ $ \text{B.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ $ \text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{4}$ $ \text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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答案：

解析：

解: 如图所示,

不妨设 $A E=A D=1$, 由 $B A=\frac{\sqrt{3}}{2}, P O=\lambda D O=\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda, P A^2=P B^2=\frac{3}{4} \lambda^2+\frac{1}{4}$,
$\because P A \perp$ 平面 $P B C, P B \subset$ 平面 $P B C$,
$\therefore P A \perp P B$
在 $\triangle P A B$ 中, 由勾股定理有 $P A^2+P B^2=B A^2, \therefore 2\left(\frac{3}{4} \lambda^2+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}$,
解得 $\lambda=\frac{\sqrt{6}}{6}$.
故选: $D$.

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