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若某圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆面, 其内接正四棱柱的高为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 则此正四棱柱的体积是
$ \text{A.} $ $\frac{9 \sqrt{6}}{8}$ $ \text{B.} $ $\frac{9 \sqrt{3}}{8}$ $ \text{C.} $ $\frac{8 \sqrt{3}}{27}$ $ \text{D.} $ $\frac{8 \sqrt{6}}{27}$
【答案】 C

【解析】
设圆锥底面半径为 $r$, 半圆弧长 $=\pi l=2 \pi=$ 底面周长 $=2 \pi r$, 所以 $r=1$. 如 图, 设 $O^{\prime} B=x, E B=\sqrt{2} x, O O^{\prime}=h, P O^{\prime}=\sqrt{3}-h$, 由相似原理, $\frac{P O^{\prime}}{P O}=\frac{O^{\prime} B}{O A}, \therefore \frac{x}{1}=\frac{\sqrt{3}-h}{\sqrt{3}}=1-\frac{h}{\sqrt{3}}$, 所以 $h=\sqrt{3}(1-x)=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore x=\frac{2}{3}$,
$V=(\sqrt{2} x)^2 h=2 \times \frac{4}{9} \times \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8 \sqrt{3}}{27}$
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