题号:4219    题型:单选题    来源:湘豫名校联考2022.12月理科数学试卷答案（老高考区）
在四棱锥 $S-A B C D$ 中, $S C \perp$ 平面 $A B C D, A B / / C D, A B \perp A D, A D=C D=1, S D=$ $A B=2$, 点 $E$ 为 $S B$ 的中点, 则异面直线 $S D$ 与 $C E$ 所成角的余弦值为
$ \text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{10}$ $ \text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ $ \text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ $ \text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$
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答案：
C

解析：

过点 $C$ 作重直于 $C D$ 的射线为 $x$ 轴, 建立如图所示的空间直角坐标 系 $C-x y z$, 因为 $S C \perp$ 平面 $A B C D$, 所以 $S C \perp C D$, 所以 $S C=\sqrt{S D^2-C D^2}=$ $\sqrt{3}$. 所以 $C(0,0,0), B(1,-1,0), D(0,1,0), S(0,0, \sqrt{3})$. 因为 $E$ 为 $S B$ 的中 点, 所以 $E\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. 所以 $\overrightarrow{S D}=(0,1,-\sqrt{3}), \overrightarrow{C E}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. 所 以 $\cos \langle\overrightarrow{S D}, \overrightarrow{C E}\rangle=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}{2 \times \frac{\sqrt{5}}{2}}=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$. 故异面直线 $S D$ 与 $C E$ 所成角的余弦 值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$. 故选 C.
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