一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 （ ） 个
①$B C A=E$
②$C A B=E$
③$C^* B^* A^*=E$
④${A}^T {C}^T {B}^T={E}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交
$\text{C.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中至少一个为 0
$\text{D.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中只能有一个为 $\mathbf{0}$
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则必有
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
$\text{B.}$ $A B=B A$
$\text{C.}$ $|A B|=|B A|$
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $|A B|=0$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
$\text{B.}$ 若 $|\boldsymbol{A B}|=0$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A B} \neq \boldsymbol{O}$, 则 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 或 $|\boldsymbol{B}| \neq 0$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵, $m < n, r(\boldsymbol{A})=m$, 以下选项中错误的是
$\text{A.}$ 存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$, 使得 $A Q=\left(\boldsymbol{E}_m \mid \boldsymbol{O}\right)$.
$\text{B.}$ 存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P A}=\left(\boldsymbol{E}_m \boldsymbol{O}\right)$.
$\text{C.}$ 齐次线性方程组 $A x=0$ 有零解.
$\text{D.}$ 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实矩阵, 则 “ $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵” 是“ $\boldsymbol{A}$ 有 3 个相互正交的特征向量” 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件.
$\text{B.}$ 必要非充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 为方阵, $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$
$\text{B.}$ $A, B$ 为同阶方阵, 则 $(A B)^2=A^2 B^2$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 为逆矩阵, 则 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为同阶方阵, 则 $\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{M}_1=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\ -2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{M}_2=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{M}_3=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 2\end{array}\right)$, $\boldsymbol{M}_4=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{M}_1, \boldsymbol{M}_2, \boldsymbol{M}_3, \boldsymbol{M}_4$ 中不能与对角阵相似的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{M}_1$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{M}_2$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{M}_3$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{M}_4$
下列命题正确的个数为 ( ).
①设 $x$ 为 $n$ 维列向量, 且 $x^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=1$, 若 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-x \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$.
②$A_{n \times m}, B_{m \times n}, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 则 $B x=0$ 仅有零解.
③设向量组 I : $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 可由 II : $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性表示, 则当 $r>s$ 时, I 必线性 相关.
④设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵, 若 $A B=C$, 且 $B$ 可逆, 则 $C$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组等价.
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 3 阶行列式 $D$ 的第 2 行元素分别为 $1,2,-1$, 它们的余子式分别为 $1,-1,2$, 则$D=$
设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A)=r$, 则 $n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 的解集 $S$ 的最大无关组 $S_0$ 的秩 $R_{s_0}=$
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则二次型 $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A x}$ 的正惯性指数为
设 $A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$, 且 $A^6=E, E$ 为 2 阶单位矩阵, 则 $A^{11}=$
设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$, 而且 $B=A^2+A-2 E$, 则 $|B|=$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 经过初等行变换化为 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 选 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为最大无关组, 则 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示为 $\alpha_4=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2 个解向量, $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=$ 0 的基础解系中只有 1 个解向量, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}\right)=$
$$\text {设 } \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right), f(x)=x^2+x-2 \text { 及, 则 } f\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)=
$$
设 $\boldsymbol{A}$ 是二阶矩阵, 则 $|\boldsymbol{A}| < 0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 可对角化的 ________ 条件(充分、必要、充要);
三、解答题 （ 共 22 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8\end{array}\right]$, 求其逆矩阵 $A^{-1}$ 。
证明: 设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2-A-2 E=0$, 证明 $A$ 及 $A+2 E$ 都可逆, 并 求 $A^{-1}$ 及 $(A+2 E)^{-1}$ 。
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵, 并有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \boldsymbol{p}_3\right), \boldsymbol{p}_i(i=1,2,3)$ 为三维列向量, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
(1) 证明: $p_1, p_2$ 为 $(E-A) x=0$ 的解, $p_3$ 为 $(E-A) x=-p_2$ 的解, 且 $\boldsymbol{A}$ 不可相似对角化;
(2) 当 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$ 时, 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right]$, 求 $\left(A^*\right)^{-1}$
设 $A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right], B$ 为 3 阶方阵, 且 $A B+E=A^2+B$, 求矩阵 $B$
$
\text { 设 } \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right) \text {, 求 }(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})
$
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为: $1,2,3$, 求 $\left|A^3-5 A^2+7 A\right|$.
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{B} $
已知 3 阶矩阵 $\mathrm{A}$ 的每行元素之和均为 3 , 且齐次线侏方程组 $A x=0$ 的一个基础解 系为 $\alpha_1=(1,0,-2)^T, \alpha_2=(2,1,0)^{\mathrm{T}}$, (I) 证明:A 能与对角阵相似; (II) 求 $\mathrm{A}$ 及 $\mathrm{A}^{1000}$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, 求 $A^n,(n \geq 1)$.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 求 $A^n(n \geq 1)$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right)$ ，求 $A^n(n \geq 1)$.
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & -3 & -6 & 9\end{array}\right)$, 求 $A^n(n \geq 1)$.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ \lambda & 1\end{array}\right)$ ，求 $A^2, A^3, A^4, \cdots, A^n$.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$, 求 $A^n$.
设 $A=\left(\begin{array}{cc}3 & 4 \\ 4 & -3\end{array}\right)$ ，求 $A^n$.
设 $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ ，求 $A^n$.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 求 $A^n$.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 1\end{array}\right)$, 求 $A^n$.
已知 $A=\left(\begin{array}{ccccc}3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -9 & 3\end{array}\right)$, 求 $A^n,(n \geq 2)$.
设 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求 $A^n(n \geq 1)$.
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为三阶矩阵, $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$, 且满足 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 求矩阵 $\boldsymbol{B}$.