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试卷58

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 23 题），每题只有一个选项正确

1. 设连续型随机变量

X_{1}, X_{2}

的概率密度分别为

f_{1} (x), f_{2} (x)

, 其分布函数分别为

F_{1} (x), F_{2} (x)

, 记

g_{1} (x) = f_{1} (x) F_{2} (x) + f_{2} (x) F_{1} (x), g_{2} (x) = f_{1} (x) F_{1} (x) + f_{2} (x) F_{2} (x), g_{3} (x) = \frac{1}{2} [f_{1} (x) +

f_{2} (x)], g_{4} (x) = \sqrt{f_{1} (x) f_{2} (x)}

, 则

g_{1} (x), g_{2} (x), g_{3} (x), g_{4} (x)

这 4 个函数中一定能作为概率密度的共有

A.

1个

B.

2个

C.

2个

D.

4个

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2. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{10}

为来自总体

X

的简单随机样本,

E (X)

与

D (X)

都存在, 且

\bar{X} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} X_{i}

, 若

E (X_{1} \bar{X}) = 35, D (X_{1} - \bar{X}) = 90

, 则

E (X^{2}) =

A.

100

B.

125

C.

150

D.

175

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3. 设矩阵

A_{m \times n}, B_{m \times \times}, C_{n \times s}

满足

A C = B

, 以下命题中正确的是

A.

如果矩阵

C

的列向量组线性无关, 则矩阵

B

的列向量组一定线性无关

B.

如果矩阵

C

的行向量组线性无关, 则矩阵

B

的行向量组一定线性无关

C.

如果矩阵

B

的列向量组线性无关, 则矩阵

C

的列向量组一定线性无关

D.

如果矩阵

B

的行向量组线性无关, 则矩阵

C

的行向量组一定线性无关

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n

维行向量

α = (\frac{1}{2}, 0, \dots, 0, \frac{1}{2}), A = E - α^{T} α, B = E + 2 α^{T} α

, 则

A B =

A.

0

B.

E

C.

- E

;

D.

5 E

;

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5. 行列式

| \begin{array}{cccc} - 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & - 3 \end{array} | =

A.

B.

C.

D.

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6. 已知

A, B

, 为

n

阶方阵, 则下列式子一定正确的是

A.

A B = B A

B.

(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}

C.

| A B | = | B A |

D.

(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}

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7. 设

A

为 3 阶方阵,

| A | = a \neq 0

, 则

| A^{*} | =

A.

a

B.

a^{2}

C.

a^{3}

D.

a^{4}

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8. 设四阶方阵

A

的行列式

| A | = 0

, 则

A

中

A.

必有一列元素全为零

B.

必有两列元素对应成比例

C.

任意一列向量是其余列向量的线性组合

D.

必有一列向量是其余向量的线性组合

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9. 下列个项中是 4 阶行列式一项的为

A.

- a_{21} a_{13} a_{34} a_{42}

B.

- a_{11} a_{21} a_{33} a_{42}

C.

- a_{31} a_{12} a_{13} a_{44}

D.

- a_{14} a_{21} a_{32} a_{41}

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10. 若

| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = 6

, 则

| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 \end{array} | =

A.

B.

-12

C.

D.

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11. 设

f (x) = | \begin{array}{ccccc} x + 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & x + 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & 2 & x + 3 & \dots & n \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 2 & 3 & \dots & x + n \end{array} |

, 则

f^{(n - 1)} (0) =

A.

\frac{1}{2} n (n + 1)

B.

\frac{1}{2} (n + 1)!

C.

n!

D.

(n + 1)

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12. 设

A_{i j}

是

n

阶行列式

D

的元素

a_{i j} (i, j = 1, 2, \dots, n)

的代数余子式, 当

i \neq j

时, 下列各式错误的是

A.

D = a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{i n} A_{j n}

B.

D = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n}

C.

D = a_{1 j} A_{1} + a_{2 j} A_{2 j} + \dots + a_{n j} A_{n j}

D.

0 = a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{i n} A_{j n}

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13. 设

A

为三阶方阵, 将

A

的第 2 列加到第 1 列得到矩阵

B

, 再交换矩阵

B

的第 2 行与第 3 行得到矩阵

C

, 记

P_{1} = [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}], P_{2} = [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}], 则 C = () .

A.

P_{2} A P_{1}

B.

P_{1} A P_{2}

C.

A P_{1} P_{2}

D.

P_{2} P_{1} A

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14. 下列各项中为某三阶行列式中带有正号的项是

A.

a_{11} a_{23} a_{32}

B.

a_{12} a_{31} a_{23}

C.

a_{13} a_{22} a_{31}

D.

a_{23} a_{12} a_{32}

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15. 设

A = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 2 \end{array}), C = A B^{- 1}

，则

C^{- 1}

的第 3 行第1列的元素为

A.

B.

C.

D.

-1

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16. 设

A

为

n

阶方阵，且

A

的行列式

| A | = a \neq 0

，而

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，则

| A^{*} | = ()

A.

a

B.

\frac{1}{a}

C.

a^{n - 1}

D.

a^{n}

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17. 设

f (x) = | \begin{array}{cccc} 2 x & x & 1 & 0 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ 2 & 3 & x & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 x \end{array} |

中, 则

x^{3}

的系数是

A.

-2

B.

C.

D.

-4

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18. 在下列 5 阶行列式中, 符号为正的项是

A.

a_{13} a_{24} a_{32} a_{41} a_{55}

B.

a_{15} a_{31} a_{22} a_{44} a_{53}

C.

a_{23} a_{32} a_{41} a_{15} a_{54}

D.

a_{31} a_{25} a_{43} a_{14} a_{52}

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19. 设

A

为

n

阶方阵, 则

| k A | =

A.

k^{n} | A |

B.

k | A |

C.

| k | | A |

D.

(k | A |)^{n}

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20. 设

| \begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array} | = m

, 则

| \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 2 b_{1} & 2 b_{2} & 2 b_{3} \\ 3 c_{1} & 3 c_{2} & 3 c_{3} \end{array} | = \begin{array}{lll}  \end{array}

A.

6 m

B.

- 6 m

C.

2^{3} 3^{3} m

D.

- 2^{3} 3^{3} m

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21. 3 阶行列式

D

的元素为

a (a > 0)

或 0 , 则该行列式的最大值为

A.

\frac{1}{2} a^{3}

B.

\frac{1}{4} a^{3}

C.

2 a^{3}

D.

a^{3}

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22. 设

A

为

n

阶方阵,

| A | = 0

, 则下列结论错误的是

A.

R (A) < n

;

B.

A

有一个行向量是其余

n - 1

个行向量的线性组合

C.

有两行元素成比例;

D.

A

的

n

个列向量线性相关.

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23. 行列式

| \begin{array}{cccc} - 1 & 0 & x & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{array} |

中

x

的一次项系数是

A.

B.

-1

C.

D.

-4

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二、判断题（共 1 题）

24. 若事件

A, B, C

满足等式

A \cup C = B \cup C

，则

A = B

A.

正确

B.

错误

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三、填空题（共 16 题），请把答案直接填写在答题纸上

25. 设随机变量

X

服从正态分布

N (0, 4)

,随机变量

Y

服从参数

λ = \frac{1}{2}

的指数分布,

Cov (X, Y) = - 1

. 令

Z = X - a Y

, 若

Cov (X, Z) = Cov (Y, Z)

, 则常数

a

的值为

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26. 设随机变量

X

的概率密度为

f_{X} (x) = {\begin{cases} 2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & 其他, \end{cases}

在给定

X = x (0 < x < 1)

的条件下,随机变量

Y

在

(- x, x)

上服从均匀分布.
(1) 求

P {\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2} ∣ Y = E (Y)}

;
(2) 判断

X

与

Y

的独立性、相关性,并给出理由;
(3) 令随机变量

Z = X - Y

, 求

f_{Z} (z)

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27. 已知

A^{3} = E

, 则

(2 A + E)^{- 1} =

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28. 行列式

| \begin{array}{llll} a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4} \end{array} |

的值等于

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29. 已知

A = [\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]

, 将

A

的第 2 列的 3 倍加到第 1 列得到

B

, 则

| B | =

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30. 设

D_{4} = | \begin{array}{llll} 2 & 3 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 6 & 3 \\ 5 & 6 & 6 & 1 \end{array} |

中元素

a_{i j}

的代数余子式为

A_{i j}

, 则

A_{11} + A_{21} + A_{31} + A_{41} =

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31. 排列

135 \dots (2 n - 1) 2 n 2 (n - 1) \dots 642

的逆序数为

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32. 若

D = | \begin{array}{rrr} 3 & - 1 & 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array} |, 2 A_{13} + A_{23} - 4 A_{33} =

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33. 设

A

为 4 阶矩阵,

| A | = 5

, 则

| - 2 A | =

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34.

设 | \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | = 1, 则 | \begin{array}{ccc} 4 a_{11} & 4 a_{21} & 4 a_{31} \\ 2 a_{11} - 3 a_{12} & 2 a_{21} - 3 a_{22} & 2 a_{31} - 3 a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} |

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35. 已知

D = | \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 3 & 0 \\ - 2 & 0 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & - 1 & 7 \\ 4 & - 3 & 5 & 9 \end{array} |, A_{ı j} (i, j = 1, 2, 3, 4)

为

D

的代数余子式, 则

3 A_{41} + 4 A_{42} - A_{43} + 7 A_{44} =

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36. 给定

| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 0 & 1 \end{array} |

, 则余子式

M_{23} =

, 代数余子式

A_{21} =

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37. 设

A

为三阶方阵,

B

为四阶方阵,

| A | = 3, | B | = - 2

, 则

| 2 A | =, | | B | A | =

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38. 设

A = [\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{array}]

, 则

A^{2} =

________ ,

A^{100} =

________

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39. 已知

| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & - 1 & x \\ 1 & 1 & - 1 \end{array} |

是关于

x

的一次多项式, 该式中

x

的系数为

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40. 计算行列式

| \begin{array}{cccc} 2 & 5 & - 3 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 2 & - 5 \\ 1 & 3 & - 2 & 2 \\ - 1 & - 6 & 4 & 3 \end{array} |

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