一、单选题 （共 23 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设连续型随机变量 $X_1, X_2$ 的概率密度分别为 $f_1(x), f_2(x)$, 其分布函数分别为 $F_1(x), F_2(x)$, 记 $g_1(x)=f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x), g_2(x)=f_1(x) F_1(x)+f_2(x) F_2(x), g_3(x)=\frac{1}{2}\left[f_1(x)+\right.$ $\left.f_2(x)\right], g_4(x)=\sqrt{f_1(x) f_2(x)}$, 则 $g_1(x), g_2(x), g_3(x), g_4(x)$ 这 4 个函数中一定能作为概率密 度的共有
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 2个
$\text{D.}$ 4个
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $E(X)$ 与 $D(X)$ 都存在, 且 $\bar{X}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$, 若 $E\left(X_1 \bar{X}\right)=35, D\left(X_1-\bar{X}\right)=90$, 则 $E\left(X^2\right)=$
$\text{A.}$ 100
$\text{B.}$ 125
$\text{C.}$ 150
$\text{D.}$ 175
设矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}, \boldsymbol{B}_{m \times \times}, \boldsymbol{C}_{n \times s}$ 满足 $\boldsymbol{A C}=\boldsymbol{B}$, 以下命题中正确的是
$\text{A.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{B.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组一定线性无关
$\text{C.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{D.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组一定线性无关
$n$ 维行向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\frac{1}{2}, 0, \ldots, 0, \frac{1}{2}\right), \mathbf{A}=\mathbf{E}-\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\alpha}, \mathbf{B}=\mathbf{E}+2 \boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\alpha}$, 则 $\mathbf{A B}=$
$\text{A.}$ $\mathbf{0}$
$\text{B.}$ $\mathbf{E}$
$\text{C.}$ $-\mathbf{E}$;
$\text{D.}$ $5\mathbf{E}$;
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}-3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -3\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知 $A, B$, 为 $n$ 阶方阵, 则下列式子一定正确的是
$\text{A.}$ $A B=B A$
$\text{B.}$ $(\mathrm{A}+\mathrm{B})^2=A^2+2 A B+B^2$
$\text{C.}$ $|A B|=|B A|$
$\text{D.}$ $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
设 $A$ 为 3 阶方阵, $|A|=a \neq 0$, 则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $a^2$
$\text{C.}$ $a^3$
$\text{D.}$ $a^4$
设四阶方阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$, 则 $A$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为零
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例
$\text{C.}$ 任意一列向量是其余列向量的线性组合
$\text{D.}$ 必有一列向量是其余向量的线性组合
下列个项中是 4 阶行列式一项的为
$\text{A.}$ $-a_{21} a_{13} a_{34} a_{42}$
$\text{B.}$ $-a_{11} a_{21} a_{33} a_{42}$
$\text{C.}$ $-a_{31} a_{12} a_{13} a_{44}$
$\text{D.}$ $-a_{14} a_{21} a_{32} a_{41}$
若 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=6$, 则 $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & -2 & -1\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ -12
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ 0
设 $f(x)=\left|\begin{array}{ccccc}x+1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & x+2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & x+3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & x+n\end{array}\right|$
, 则 $f^{(n-1)}(0)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} n(n+1)$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}(n+1) !$.
$\text{C.}$ $n !$.
$\text{D.}$ $(n+1)$ !.
设 $A_{i j}$ 是 $n$ 阶行列式 $D$ 的元素 $a_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 的代数余子式, 当 $i \neq j$ 时, 下列各式错误的是
$\text{A.}$ $D=a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}$
$\text{B.}$ $D=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}$
$\text{C.}$ $D=a_{1 j} A_1+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}$
$\text{D.}$ $0=a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}$
设 $A$ 为三阶方阵, 将 $A$ 的第 2 列加到第 1 列得到矩阵 $B$, 再交换矩阵 $B$ 的第 2 行与第 3 行得到矩阵 $C$, 记
$$
P_1=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right], P_2=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right], \quad \text { 则 } \boldsymbol{C}=(\quad) \text {. }
$$
$\text{A.}$ $P_2 A P_1$
$\text{B.}$ $P_1 A P_2$
$\text{C.}$ $A P_1 P_2$
$\text{D.}$ $P_2 P_1 A$
下列各项中为某三阶行列式中带有正号的项是
$\text{A.}$ $a_{11} a_{23} a_{32}$
$\text{B.}$ $a_{12} a_{31} a_{23}$
$\text{C.}$ $a_{13} a_{22} a_{31}$
$\text{D.}$ $a_{23} a_{12} a_{32}$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 4 & 2\end{array}\right), C=A B^{-1}$ ， 则 $C^{-1}$ 的第 3 行第1列的元素为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ -1
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $|A|=a \neq 0$ ，而 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^*\right|=(\quad)$
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}$
$\text{C.}$ $a^{n-1}$
$\text{D.}$ $a^n$
设 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x & x & 1 & 0 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ 2 & 3 & x & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 x\end{array}\right|$ 中, 则 $x^3$ 的系数是
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
在下列 5 阶行列式中, 符号为正的项是
$\text{A.}$ $a_{13} a_{24} a_{32} a_{41} a_{55}$
$\text{B.}$ $a_{15} a_{31} a_{22} a_{44} a_{53}$
$\text{C.}$ $a_{23} a_{32} a_{41} a_{15} a_{54}$
$\text{D.}$ $a_{31} a_{25} a_{43} a_{14} a_{52}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵, 则 $|k \boldsymbol{A}|=$
$\text{A.}$ $k^n|A|$
$\text{B.}$ $k|A|$
$\text{C.}$ $|k||A|$
$\text{D.}$ $(k|\boldsymbol{A}|)^n$
设 $\left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right|=m$, 则 $\left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_2 & a_3 \\ 2 b_1 & 2 b_2 & 2 b_3 \\ 3 c_1 & 3 c_2 & 3 c_3\end{array}\right|=\begin{array}{lll}\end{array}$.
$\text{A.}$ $6 m$
$\text{B.}$ $-6 m$
$\text{C.}$ $2^3 3^3 m$
$\text{D.}$ $-2^3 3^3 m$
3 阶行列式 $D$ 的元素为 $a(a>0)$ 或 0 , 则该行列式的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} a^3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} a^3$
$\text{C.}$ $2 a^3$
$\text{D.}$ $a^3$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=0$, 则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $R(A) < n$;
$\text{B.}$ $A$ 有一个行向量是其余 $n-1$ 个行向量的线性组合
$\text{C.}$ 有两行元素成比例;
$\text{D.}$ $A$ 的 $n$ 个列向量线性相关.
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}-1 & 0 & x & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right|$ 中 $x$ 的一次项系数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
二、判断题 （共 1 题，每小题 5 分，共 20 分）
若事件 $A, B, C$ 满足等式 $A \cup C=B \cup C$ ，则 $A=B$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 30 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,4)$,随机变量 $Y$ 服从参数 $\lambda=\frac{1}{2}$ 的指数分布, $\operatorname{Cov}(X, Y)=-1$. 令 $Z=X-a Y$, 若 $\operatorname{Cov}(X, Z)=\operatorname{Cov}(Y, Z)$, 则常数 $a$ 的值为
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 在给定 $X=x(0 < x < 1)$ 的条件 下,随机变量 $Y$ 在 $(-x, x)$ 上服从均匀分布.
(1) 求 $P\left\{\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2} \mid Y=E(Y)\right\}$;
(2) 判断 $X$ 与 $Y$ 的独立性、相关性,并给出理由;
(3) 令随机变量 $Z=X-Y$, 求 $f_Z(z)$.
已知 $A^3=E$, 则 $(2 A+E)^{-1}=$
行列式 $\left|\begin{array}{llll}a_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & b_3 & a_3 & 0 \\ b_4 & 0 & 0 & a_4\end{array}\right|$ 的值等于
已知 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$, 将 $\mathbf{A}$ 的第 2 列的 3 倍加到第 1 列得到 $B$, 则 $|\mathbf{B}|=$
设 $D_4=\left|\begin{array}{llll}2 & 3 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 6 & 3 \\ 5 & 6 & 6 & 1\end{array}\right|$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式为 $A_{i j}$, 则 $A_{11}+A_{21}+A_{31}+A_{41}=$
排列 $135 \cdots(2 n-1) 2 n 2(n-1) \cdots 642$ 的逆序数为
若 $D=\left|\begin{array}{rrr}3 & -1 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -4\end{array}\right|, 2 A_{13}+A_{23}-4 A_{33}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $|\boldsymbol{A}|=5$, 则 $|-2 \boldsymbol{A}|=$
$
\text { 设 }\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=1 \text {, 则 }\left|\begin{array}{ccc}
4 a_{11} & 4 a_{21} & 4 a_{31} \\
2 a_{11}-3 a_{12} & 2 a_{21}-3 a_{22} & 2 a_{31}-3 a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}\right|
$
已知 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & -1 & 7 \\ 4 & -3 & 5 & 9\end{array}\right|, A_{\imath j}(i, j=1,2,3,4)$ 为 $D$ 的代数余子式, 则 $3 A_{41}+4 A_{42}-A_{43}+7 A_{44}=$
给定 $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right|$, 则余子式 $M_{23}= $, 代数余子式 $A_{21}= $.
设 $A$ 为三阶方阵, $B$ 为四阶方阵, $|A|=3,|B|=-2$, 则 $|2 A|= ,|| B|A|= $.
设 $A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 则 $A^2=$ ________ , $A^{100}=$ ________
已知 $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & x \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|$ 是关于 $x$ 的一次多项式, 该式中 $x$ 的系数为
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 5 & -3 & -2 \\ -2 & -3 & 2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \\ -1 & -6 & 4 & 3\end{array}\right|$.