题号:2640    题型:填空题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 在给定 $X=x(0 < x < 1)$ 的条件 下,随机变量 $Y$ 在 $(-x, x)$ 上服从均匀分布.
(1) 求 $P\left\{\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2} \mid Y=E(Y)\right\}$;
(2) 判断 $X$ 与 $Y$ 的独立性、相关性,并给出理由;
(3) 令随机变量 $Z=X-Y$, 求 $f_Z(z)$.
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答案:
(1) 由题意得, 当 $0 < x < 1$ 时, $f_{Y \mid X}(y \mid x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2 x}, & -x < y < x, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 则
$$
f(x, y)=f_X(x) f_{Y \mid X}(y \mid x)= \begin{cases}1, & 0 < x < 1,-x < y < x, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{-x}^x y \mathrm{~d} y=0$,
$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x= \begin{cases}1-|y|, & -1 < y < 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$
在 $Y=y(-1 < y < 1)$ 的条件下, $X$ 的条件概率密度为
$$
f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_Y(y)}= \begin{cases}\frac{1}{1-|y|}, & |y| < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
所以
$$
P\left\{\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2} \mid Y=E(Y)\right\}=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} f_{X \mid Y}(x \mid y=0) \mathrm{d} x=\int_{\frac{1}{2}}^1 1 \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} .
$$
(2) 因为 $f(x, y) \neq f_X(x) f_Y(y)$, 所以 $X$ 与 $Y$ 不独立.
由 $E(X Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 x \mathrm{~d} x \int_{-x}^x y \mathrm{~d} y=0, E(Y)=0$, 得
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)=0,
$$
所以 $X$ 与 $Y$ 不相关.
(3) 因 $Z=X-Y$, 则当 $z \leqslant 0$ 时, $f_z(z)=0$; 当 $0 < z < 2$ 时,

$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, x-z) \mathrm{d} x=\int_{\frac{z}{2}}^1 1 \mathrm{~d} x=1-\frac{z}{2}
$$
当 $z \geqslant 2$ 时, $f_Z(z)=0$.
综上得 $f_Z(z)= \begin{cases}1-\frac{z}{2}, & 0 < z < 2, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$
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