设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 在给定 $X=x(0 < x < 1)$ 的条件 下,随机变量 $Y$ 在 $(-x, x)$ 上服从均匀分布.
(1) 求 $P\left\{\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2} \mid Y=E(Y)\right\}$;
(2) 判断 $X$ 与 $Y$ 的独立性、相关性,并给出理由;
(3) 令随机变量 $Z=X-Y$, 求 $f_Z(z)$.