一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设常数 $k>0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{k+n}{n^{2}}$ = （ ）
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 条件收敛.
$\text{D.}$ 收敛或发散与 $k$ 的取值有关.
设 $y=f(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0$ 的一个解, 且 $f\left(x_{0}\right)>0, f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处
$\text{A.}$ 取得极大值.
$\text{B.}$ 取得极小值.
$\text{C.}$ 某邻域内单调增加.
$\text{D.}$ 某邻域内单调减少.
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 在 $x=-1$ 处收敛,则此级数在 $x=2$ 处
$\text{A.}$ 条件收敛.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 发散.
$\text{D.}$ 收敛性不能确定.
设线性无关的函数 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 都是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的解, $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数, 则该非齐次方程的通解是 ( )
$\text{A.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}+y_{3}$.
$\text{B.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}-\left(C_{1}+C_{2}\right) y_{3}$.
$\text{C.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}-\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$.
$\text{D.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}+\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$.
设 $\alpha$ 为常数, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n \alpha}{n^{2}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 的取值有关
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}=2, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 等于 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$ (常数 $\left.\alpha>0\right)(\quad)$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 绝对收敛.
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 有关.
设常数 $\lambda>0$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\left|a_{n}\right|}{\sqrt{n^{2}+\lambda}}$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 绝对收敛.
$\text{D.}$ 收敛性与 $\lambda$ 有关.
设 $u_{n}=(-1)^{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$, 则级数 ( )
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 都收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 都发散.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 发散.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 收敛.
设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 常数 $\lambda \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(n \tan \frac{\lambda}{n}\right) a_{2 n}()$
$\text{A.}$ 绝对收敛.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 发散.
$\text{D.}$ 敛散性与 $\lambda$ 有关.
具有特解 $y_1=e^{-x}, y_2=2 x e^{-x}, y_3=3 e^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数微分方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=e^{3 x}
$$
满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解, 则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解，则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$的表达式为
$\text{A.}$ $-\frac{y^2}{x^2}$
$\text{B.}$ $\frac{y^2}{x^2}$
$\text{C.}$ $-\frac{x^2}{y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{y^2}$
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x^2+1+\sin x$ 的特解形式可设为
$\text{A.}$ $y^*=a x^2+b x+c+x(A \sin x+B \cos x)$
$\text{B.}$ $y^*=x\left(a x^2+b x+c+A \sin x+B \cos x\right)$
$\text{C.}$ $y^*=a x^2+b x+c+A \sin x$
$\text{D.}$ $y^*=a x^2+b x+c+B \cos x$
在下列微分方程中，以
$$
y=C_1 e^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x
$$
$\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意的常数) 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$
在下列微分方程中，以 $y=C_1 e^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x$ $\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意的常数) 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$.
微分方程 $y^{\prime \prime}-\lambda^2 y=e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}(\lambda>0)$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right)$
$\text{B.}$ $a x\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right)$
$\text{C.}$ $x\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
$\text{D.}$ $x^2\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
二、填空题 （共 17 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}+(-3)^{n}} x^{2 n-1}$ 的收敛半径 $R=$
微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{x}$ 的通解为
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=-2 x$ 的通解为
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0$ 的通解为
差分方程 $y_{t+1}-y_t=t 2^t$ 的通解为
差分方程 $2 y_{t+1}+10 y_t-5 t=0$ 的通解是
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x}$ 的通解为 $y=$
设 $y=e^x\left(C_1 \sin x+C_2 \cos x\right)\left(C_1, C_2\right.$ 为任意常数 $)$ 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为
设函数 $f(x) ， g(x)$ 满足，
$$
f^{\prime}(x)=g(x) ， g^{\prime}(x)=2 e^x-f(x),
$$
且 $f(0)=0 ， g(0)=2$ ，求
$$
I=\int_0^\pi\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^2}\right] \mathrm{d} x .
$$
已知函数 $y=y(x)$ 是由方程 $e^y+6 x y+x^2-1=0$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=$
微分方程 $y y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ ， $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ 的特解是
欧拉方程 $x^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+4 x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0(x>0)$ 的通解为
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^3$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的特解为 $y=$
微分方程 $\left(y+x^2 e^{-x}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 的通解是
三阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$的通解为 $y=$
设可导函数 $y=y(x)$ 由方程
$$
\int_0^{x+y} e^{-t^2} \mathrm{~d} t=\int_0^x x \sin ^2 t \mathrm{~d} t
$$
确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\qquad$ .
设函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 e^x ，$ 则 $f(x)=$
三、解答题 （ 共 39 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+\left(9+a^{2}\right) y^{\prime}=1$ 的通解, 其中常数 $a>0$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} x^{n-1}$ 的收敛域, 并求其和函数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(x-3)^{n}}{n 3^{n}}$ 的收敛域.
设函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 \mathrm{e}^{x}$, 且其图形在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=$ $x^{2}-x+1$ 在该点的切线重合, 求函数 $y=y(x)$.