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试卷55

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 19 题），每题只有一个选项正确

1. 设常数

k > 0

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{k + n}{n^{2}}

= （　　）

A.

发散.

B.

绝对收敛.

C.

条件收敛.

D.

收敛或发散与

k

的取值有关.

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2. 设

y = f (x)

是方程

y^{''} - 2 y^{'} + 4 y = 0

的一个解, 且

f (x_{0}) > 0, f^{'} (x_{0}) = 0

, 则函数

f (x)

在点

x_{0}

处

A.

取得极大值.

B.

取得极小值.

C.

某邻域内单调增加.

D.

某邻域内单调减少.

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3. 若

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - 1)^{n}

在

x = - 1

处收敛,则此级数在

x = 2

处

A.

条件收敛.

B.

绝对收敛.

C.

发散.

D.

收敛性不能确定.

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4. 设线性无关的函数

y_{1}, y_{2}, y_{3}

都是二阶非齐次线性方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)

的解,

C_{1}, C_{2}

是任意常数, 则该非齐次方程的通解是 ( )

A.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + y_{3}

B.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (C_{1} + C_{2}) y_{3}

C.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

D.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

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5. 设

α

为常数, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{\sin n α}{n^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n}})

A.

绝对收敛

B.

条件收敛

C.

发散

D.

收敛性与

α

的取值有关

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6. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} a_{n} = 2, \sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1} = 5

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

等于 ( )

A.

B.

C.

D.

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7. 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} (1 - \cos \frac{α}{n})

(常数

α > 0) ()

A.

发散.

B.

条件收敛.

C.

绝对收敛.

D.

收敛性与

α

有关.

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8. 设常数

λ > 0

, 且级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

收敛, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{| a_{n} |}{\sqrt{n^{2} + λ}}

A.

发散.

B.

条件收敛.

C.

绝对收敛.

D.

收敛性与

λ

有关.

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9. 设

u_{n} = (- 1)^{n} \ln (1 + \frac{1}{\sqrt{n}})

, 则级数 ( )

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

都收敛.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

都发散.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛而

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

发散.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散而

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

收敛.

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10. 设

a_{n} > 0 (n = 1, 2, \dots)

, 且

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛, 常数

λ \in (0, \frac{π}{2})

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} (n \tan \frac{λ}{n}) a_{2 n} ()

A.

绝对收敛.

B.

条件收敛.

C.

发散.

D.

敛散性与

λ

有关.

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11. 具有特解

y_{1} = e^{- x}, y_{2} = 2 x e^{- x}, y_{3} = 3 e^{x}

的 3 阶常系数齐次线性微分方程是

A.

y^{'''} - y^{''} - y^{'} + y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} - y^{'} - y = 0

C.

y^{'''} - 6 y^{''} + 11 y^{'} - 6 y = 0

D.

y^{''''} - 2 y^{''} - y^{'} + 2 y = 0

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12. 设

y = y (x)

是二阶常系数微分方程

y^{''} + p y^{'} + q y = e^{3 x}

满足初始条件

y (0) = y^{'} (0) = 0

的特解, 则当

x \to 0

时，函数

\frac{\ln (1 + x^{2})}{y (x)}

的极限

A.

不存在

B.

等于 1

C.

等于 2

D.

等于 3

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13. 已知

y = \frac{x}{\ln x}

是微分方程

y^{'} = \frac{y}{x} + φ (\frac{x}{y})

的解，则

φ (\frac{x}{y})

的表达式为

A.

- \frac{y^{2}}{x^{2}}

B.

\frac{y^{2}}{x^{2}}

C.

- \frac{x^{2}}{y^{2}}

D.

\frac{x^{2}}{y^{2}}

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14. 微分方程

y^{''} + y = x^{2} + 1 + \sin x

的特解形式可设为

A.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + x (A \sin x + B \cos x)

B.

y^{*} = x (a x^{2} + b x + c + A \sin x + B \cos x)

C.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + A \sin x

D.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + B \cos x

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15. 在下列微分方程中，以

y = C_{1} e^{x} + C_{2} \cos 2 x + C_{3} \sin 2 x

(C_{1}, C_{2}, C_{3}

为任意的常数) 为通解的是

A.

y^{'''} + y^{''} - 4 y^{'} - 4 y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

C.

y^{'''} - y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0

D.

y^{'''} - y^{''} + 4 y^{'} - 4 y = 0

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16. 在下列微分方程中，以

y = C_{1} e^{x} + C_{2} \cos 2 x + C_{3} \sin 2 x

(C_{1}, C_{2}, C_{3}

为任意的常数) 为通解的是

A.

y^{'''} + y^{''} - 4 y^{'} - 4 y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

C.

y^{'''} - y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0

D.

y^{'''} - y^{''} + 4 y^{'} - 4 y = 0

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17. 设

y_{1}, y_{2}

是一阶线性非齐次微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个特解，若常数

λ, μ

使

λ y_{1} + μ y_{2}

是该方程的解，

λ y_{1} - μ y_{2}

是该方程对应的齐次方程的解，则

A.

λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{2}

B.

λ = - \frac{1}{2}, μ = - \frac{1}{2}

C.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}

D.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{2}{3}

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18. 设

y_{1}, y_{2}

是一阶线性非齐次微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个特解，若常数

λ, μ

使

λ y_{1} + μ y_{2}

是该方程的解，

λ y_{1} - μ y_{2}

是该方程对应的齐次方程的解，则

A.

λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{2}

B.

λ = - \frac{1}{2}, μ = - \frac{1}{2}

C.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}

D.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{2}{3}

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19. 微分方程

y^{''} - λ^{2} y = e^{λ x} + e^{- λ x} (λ > 0)

的特解形式为

A.

a (e^{λ x} + e^{- λ x})

B.

a x (e^{λ x} + e^{- λ x})

C.

x (a e^{λ x} + b e^{- λ x})

D.

x^{2} (a e^{λ x} + b e^{- λ x})

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二、填空题（共 17 题），请把答案直接填写在答题纸上

20. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n} + (- 3)^{n}} x^{2 n - 1}

的收敛半径

R =

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21. 微分方程

y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = e^{x}

的通解为

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22. 微分方程

y^{''} + y = - 2 x

的通解为

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23. 微分方程

y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0

的通解为

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24. 差分方程

y_{t + 1} - y_{t} = t 2^{t}

的通解为

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25. 差分方程

2 y_{t + 1} + 10 y_{t} - 5 t = 0

的通解是

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26. 微分方程

y^{''} - 4 y = e^{2 x}

的通解为

y =

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27. 设

y = e^{x} (C_{1} \sin x + C_{2} \cos x) (C_{1}, C_{2}

为任意常数

)

为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为

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28. 设函数

f (x) ， g (x)

满足，

f^{'} (x) = g (x) ， g^{'} (x) = 2 e^{x} - f (x),

且

f (0) = 0 ， g (0) = 2

，求

I = \int_{0}^{π} [\frac{g (x)}{1 + x} - \frac{f (x)}{(1 + x)^{2}}] d x .

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29. 已知函数

y = y (x)

是由方程

e^{y} + 6 x y + x^{2} - 1 = 0

确定，则

y^{''} (0) =

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30. 微分方程

y y^{''} + y^{' 2} = 0

满足初始条件

{y |}_{x = 0} = 1

，

{y^{'} |}_{x = 0} = \frac{1}{2}

的特解是

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31. 欧拉方程

x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 x \frac{d y}{d x} + 2 y = 0 (x > 0)

的通解为

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32. 微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{3}

满足

{y |}_{x = 1} = 1

的特解为

y =

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33. 微分方程

(y + x^{2} e^{- x}) d x - x d y = 0

的通解是

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34. 三阶常系数线性齐次微分方程

y^{'''} - 2 y^{''} + y^{'} - 2 y = 0

的通解为

y =

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35. 设可导函数

y = y (x)

由方程

\int_{0}^{x + y} e^{- t^{2}} d t = \int_{0}^{x} x \sin^{2} t d t

确定，则

{\frac{d y}{d x} |}_{x = 0} =

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36. 设函数

f (x)

满足方程

f^{''} (x) + f^{'} (x) - 2 f (x) = 0

及

f^{''} (x) + f (x) = 2 e^{x} ，

则

f (x) =

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三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

37. 求微分方程

y^{'''} + 6 y^{''} + (9 + a^{2}) y^{'} = 1

的通解, 其中常数

a > 0

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38. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} x^{n - 1}

的收敛域, 并求其和函数.

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39. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 3)^{n}}{n 3^{n}}

的收敛域.

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40. 设函数

y = y (x)

满足微分方程

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 2 e^{x}

, 且其图形在点

(0, 1)

处的切线与曲线

y =

x^{2} - x + 1

在该点的切线重合, 求函数

y = y (x)

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