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试卷52

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 二元函数

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处两个偏导数

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})

存在是

f (x, y)

在该点连续的

A.

充分条件而非必要条件.

B.

必要条件而非充分条件.

C.

充分必要条件.

D.

既非充分条件又非必要条件.

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2. 已知

\frac{(x + a y) d x + y d y}{(x + y)^{2}}

为某函数的全微分, 则

a

等于 ( )

A.

- 1

B.

C.

D.

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3. 设函数

f (x)

及

g (x)

都在

x = a

处取得极大值，则函数

F (x) = f (x) g (x)

在

x = a

A.

必取极大值

B.

必取极小值

C.

不可能取极值

D.

是否取极值不能确定

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 设

u = e^{- x} \sin \frac{x}{y}

, 则

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}

在点

(2, \frac{1}{π})

处的值为

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三、解答题（共 17 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

5. 设

z = f (2 x - y) + g (x, x y)

, 其中函数

f (t)

二阶可导,

g (u, v)

具有连续的二阶偏导数, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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6. 设半径为

R

的球面

Σ

的球心在定球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (a > 0)

上, 问当

R

取何值时, 球面

Σ

在定球面内部的那部分的面积最大?

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7. 设

z = f (2 x - y, y \sin x)

, 其中

f (u, v)

具有连续的二阶偏导数, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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8. 在上半平面求一条向上凹的曲线, 其上任一点

P (x, y)

处的曲率等于此曲线在该点的法线段

P Q

长度的倒数 (

Q

是法线与

x

轴的交点), 且曲线在点

(1, 1)

处的切线与

x

轴平行.

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9. 设

u = f (x, y, z), φ (x^{2}, e^{y}, z) = 0, y = \sin x

, 其中

f, φ

都具有一阶连续偏导数, 且

\frac{\partial φ}{\partial z} \neq 0

, 求

\frac{d u}{d x}

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10. 设函数

z = f (u, x, y), u = x e^{y}

，其中

f

具有二阶连续偏导数，求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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11. 在第一象限内，求曲线

y = - x^{2} + 1

上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.

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12. (1) 已知某商品的需求量

x

对价格

p

的弹性为

η = - 3 p^{3}

，而市场对商品的最大需求量为 1 (万件)，求需求函数.
(2) 设某产品的总成本函数为

C (x) = 400 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2}

，而需求函数为

p = \frac{100}{\sqrt{x}}

，其中

x

为产量(假定等于需求量)，

p

为价格. 试求:
(a) 边际成本;
(b) 边际收益;
(c) 边际利润;
(d)收益的价格弹性.

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13. 求

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}

，其中函数

u

由下列等式确定:
(1)

u + e^{u} = x y

;
(2)

u = e^{\frac{x}{y}}

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14. 已知

z = a^{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}

，其中

a > 0, a \neq 1

，求

d z

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15. 已知某企业的总收入函数为

R = 26 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}

，总成本函数为

C = 8 x + x^{2}

，其中

x

表示产品的产量，求利润函数，边际收入函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润.

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16. 求函数

I (x) = \int_{e}^{x} \frac{\ln t}{t^{2} - 2 t + 1} d t

在区间

[e, e^{2}]

上的最大值.

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17. 设

x^{2} + z^{2} = y φ (\frac{z}{y})

，其中

φ

为可微函数，求

\frac{\partial z}{\partial y}

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18. 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入

R

(万元) 与电台广告费用

x_{1}

(万元)及报纸广告费用

x_{2}

(万元)之间的关系有如下经验公式:

R = 15 + 14 x_{1} + 32 x_{2} - 8 x_{1} x_{2} - 2 x_{1}^{2} - 10 x_{2}^{2} .

（1）在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略；
（2）若提供的广告费用为 1.5 万元, 求相应的最优广告策略.

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19. 如图，

A

和

D

分别是曲线

y = e^{x}

和

y = e^{- 2 x}

上的点，

A B

和

D C

均垂直

x

轴，且

| A B | : | D C | = 2 : 1, | A B | < 1,

求点

B

和

C

的横坐标，使梯形

A B C D

的面积最大.

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20. 设

z = \sin (x y) + φ (x, \frac{x}{y})

，求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

，其中

φ (u, v)

有二阶偏导数.

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21. 设

f (x, y) = \int_{0}^{x y} e^{- t^{2}} d t

，求

\frac{x}{y} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} - 2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} + \frac{y}{x} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} .

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