题号:765    题型:解答题    来源:1995年全国硕士研究生招生考试试题
设 $u=f(x, y, z), \varphi\left(x^{2}, \mathrm{e}^{y}, z\right)=0, y=\sin x$, 其中 $f, \varphi$ 都具有一阶连续偏导数, 且 $\frac{\partial \varphi}{\partial z} \neq 0$, 求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$.
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答案:
这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函 数求导相结合的问题.
先由方程式 $\varphi\left(x^{2}, e^{y}, z\right)=0$, 其中 $y=\sin x$ 确定 $z=z(x)$, 并求 $\frac{d z}{d x}$. 将方程两边对 $x$ 求导得
$$
\begin{aligned}
&\varphi_{1}^{\prime} \cdot 2 x+\varphi_{2}^{\prime} \cdot e^{y} \cos x+\varphi_{3}^{\prime} \cdot \frac{d z}{d x}=0 \\
&\frac{d z}{d x}=-\frac{1}{\varphi_{3}^{\prime}}\left(\varphi_{1}^{\prime} \cdot 2 x+\varphi_{2}^{\prime} \cdot e^{y} \cos x\right)
\end{aligned}
$$
现再将 $u=f(x, y, z)$ 对 $x$ 求导, 其中 $y=\sin x, z=z(x)$,
可得
$$
\frac{d u}{d x}=f_{1}^{\prime}+f_{2}^{\prime} \cdot \cos x+f_{3}^{\prime} \cdot \frac{d z}{d x} .
$$
将(1)式代入得 $\frac{d u}{d x}=f_{1}^{\prime}+f_{2}^{\prime} \cdot \cos x-f_{3}^{\prime} \cdot \frac{1}{\varphi_{3}^{\prime}}\left(\varphi_{1}^{\prime} \cdot 2 x+\varphi_{2}^{\prime} \cdot e^{y} \cos x\right) .$

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