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试卷49

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 15 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} x^{2} & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x & 1 < x \leq 2 \end{array}

，记

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t, 0 \leq x \leq 2

, 则

A.

F (x) = {\begin{array}{cl} \frac{x^{3}}{3}, & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{3} + 2 x - \frac{x^{2}}{2}, & 1 < x \leq 2 \end{array}

B.

F (x) = {\begin{array}{cc} \frac{x^{3}}{3}, & 0 \leq x \leq 1 \\ - \frac{7}{6} + 2 x - \frac{x^{2}}{2}, 1 < x \leq 2 \end{array}

C.

F (x) = {\begin{array}{cr} \frac{x^{3}}{3}, & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + 2 x - \frac{x^{2}}{2}, 1 < x \leq 2 \end{array}

D.

F (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{3}}{3}, 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x - \frac{x^{2}}{2}, 1 < x \leq 2 \end{matrix}

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2. 设

f (x)

连续，

F (x) = \int_{0}^{x^{2}} f (t^{2}) d t

，则

F^{'} (x)

等于

A.

f (x^{4})

B.

x^{2} f (x^{4})

C.

2 x f (x^{4})

D.

2 x f (x^{2})

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3. 若

f (x)

的导数是

\sin x

，则

f (x)

有一个原函数为

A.

1 + \sin x

B.

1 - \sin x

C.

1 + \cos x

D.

1 - \cos x

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4. 已知

f (x) = {\begin{cases} x^{2} & 0 \leq x < 1 \\ 1 & 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

，设

F (x) = \int_{1}^{x} f (t) d t (0 \leq x \leq 2) ，

则

f (x)

为

A.

{\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3}, 0 \leq x < 1 \\ x, 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

B.

{\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3}, 0 \leq x < 1 \\ x, 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

C.

{\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3}, 0 \leq x < 1 \\ x - 1, 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

D.

{\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3} & 0 \leq x < 1 \\ x - 1 & 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

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5. 设

f (x)

为连续函数，且

F (x) = \int_{\frac{1}{x}}^{\ln x} f (t) d t

，则

F^{'} (x)

等于

A.

\frac{1}{x} f (\ln x) + \frac{1}{x^{2}} f (\frac{1}{x})

B.

f (\ln x) + f (\frac{1}{x})

C.

\frac{1}{x} f (\ln x) - \frac{1}{x^{2}} f (\frac{1}{x})

D.

f (\ln x) - f (\frac{1}{x})

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6. 设

M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{4} x d x

，

\begin{aligned} N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{4} x) d x, \\ P = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{2} \sin^{3} x - \cos^{4} x) d x \end{aligned}

则

A.

N < P < M

B.

M < P < N

C.

N < M < P

D.

P < M < N

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7. 设

F (x) = \int_{x}^{x + 2 π} e^{\sin t} \sin t d t

，则

F (x)

A.

为正常数

B.

为负常数

C.

恒为零

D.

不为常数

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8. 设

f (x), φ (x)

在点

x = 0

的某邻域内连续，且当

x \to 0

时，

f (x)

是

φ (x)

的高阶无穷小，则当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x} f (t) \sin t d t

是

\int_{0}^{x} t φ (t) d t

的

A.

低阶无穷小

B.

高阶无穷小

C.

同阶但不等价的无穷小

D.

等价无穷小

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9. 设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数则

A.

当

f (x)

是奇函数时，

F (x)

必是偶函数

B.

当

f (x)

是偶函数时，

F (x)

必是奇函数

C.

当

f (x)

是是周期函数时，

F (x)

必是周期函数

D.

当

f (x)

是单调增函数时，

F (x)

必是单调增函数

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10. 设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数，则

A.

当

f (x)

是奇函数时，

F (x)

必是偶函数

B.

当

f (x)

是偶函数时，

F (x)

必是奇函数

C.

当

f (x)

是是周期函数时，

F (x)

必是周期函数

D.

当

f (x)

是单调增函数时，

F (x)

必是单调增函数

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11. 使不等式

\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} d t > \ln x

成立的

x

的范围是

A.

(0, 1)

B.

(1, \frac{π}{2})

C.

(\frac{π}{2}, π)

D.

(π, + \infty)

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12. 设

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \sin x d x ， J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cot x d x

，

K = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cos x d x

，则

I, J, K

的大小关系是

A.

I < J < K

B.

I < K < J

C.

J < I < K

D.

K < J < I

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13. 设

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \sin x d x ， J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cot x d x

，

K = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cos x d x

，则

I, J, K

的大小关系是

A.

I < J < K

B.

I < K < J

C.

J < I < K

D.

K < J < I

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14. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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15. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

16. 质点以速度

t \sin (t^{2})

米秒作直线运动，则从时刻

t_{1} = \sqrt{\frac{π}{2}}

到

t_{2} = \sqrt{π}

秒内质点所经过的路程等于米.

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17.

\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\cos 3 x} f (t) d t] =

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18.

\int_{- 2}^{2} \frac{x + | x |}{2 + x^{2}} d x =

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19. 设

\int x f (x) d x = \arcsin x + c

，则

\int \frac{d x}{f (x)} =

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20. 设

f (x)

连续，则

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t =

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21. 设

f (x)

有一个原函数

\frac{\sin x}{x}

，则

\int_{\frac{π}{2}}^{π} x f^{'} (x) d x =

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22.

\int_{0}^{π^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} d x =

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23. 设函数

f (x) = {\begin{cases} λ e^{- λ x} & , x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}, λ > 0

，则

\int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x =

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24.

lim_{n \to \infty} n (\frac{1}{1 + n^{2}} + \frac{1}{2^{2} + n^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n^{2}}) =

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25. 由曲线

y = \frac{4}{x}

和直线

y = x

及

y = 4 x

在第一象限中围成的平面图形的面积为

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三、解答题（共 15 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

26. 设函数

f (x)

在区间

[0, 1]

上连续, 并设

\int_{0}^{1} f (x) d x = A

, 求

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f (x) f (y) d y

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27. 计算

I = \int_{1}^{2} d x \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{π x}{2 y} d y + \int_{2}^{4} d x \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{π x}{2 y} d y .

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28. 计算

\int \frac{\ln x}{(1 - x)^{2}} d x

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29. 求不定积分

\int \frac{x \cos^{4} \frac{x}{2}}{\sin^{3} x} d x

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30. 计算

I = \int_{3}^{+ \infty} \frac{d x}{(x - 1)^{4} \sqrt{x^{2} - 2 x}}

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31. 计算

\int_{1}^{4} \frac{d x}{x (1 + \sqrt{x})}

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32. 求

\int x \sin^{2} x d x

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33. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内满足

f (x) = f (x - π) + \sin x .

且

f (x) = x, x \in [0, π)

，计算

I = \int_{π}^{3 π} f (x) d x

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34. 求极限

lim_{x \to + \infty} {(x + \sqrt{1 + x^{2}})}^{\frac{1}{x}}

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35. 求不定积分

I = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \arctan x d x

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36. 求定积分

I = \int_{- 1}^{1} (2 x + | x | + 1)^{2} d x

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37. 计算

I = \int \frac{arccot e^{x}}{e^{x}} d x

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38. 求

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{1 + \cos 2 x} d x

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39. 设

f (x), g (x)

在区间

[- a, a] (a > 0)

上连续，

g (x)

为偶函数，且

f (x)

满足

f (x) + f (- x) = A

(

A

为常数).
(1) 证明:

\int_{- a}^{a} f (x) g (x) d x = A \int_{0}^{a} g (x) d x

；
(2) 利用(1)的结论计算定积分

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} | \sin x | \arctan e^{x} d x

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40. 一容器的内侧是由曲线

C

绕

y

轴旋转一周而成的曲面，其中曲线

C

由

x^{2} + y^{2} = 2 y (y \geq \frac{1}{2})

与

x^{2} + y^{2} = 1 (y \leq \frac{1}{2})

连接而成的.
(1) 求容器的容积；
（2）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功? (长度单位： m ，重力加速度为

g m / s^{2}

，水的密度为

10^{3} kg / m^{3}

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