一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，有
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
$\text{A.}$ $-2 f^{\prime}(0)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $0$
设函数 $f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1}(n-1)$ !
$\text{B.}$ $(-1)^n(n-1)$ !
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} n$ !
$\text{D.}$ $(-1)^n n$ !
如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在
设函数 $f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1}(n-1)$ !
$\text{B.}$ $(-1)^n(n-1)$ !
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} n$ !
$\text{D.}$ $(-1)^n n$ !
设函数 $f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1}(n-1)$ !
$\text{B.}$ $(-1)^n(n-1)$ !
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} n$ !
$\text{D.}$ $(-1)^n n$ !
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内严格单增, 则对区间 $(a, b)$ 内任何一点 $x$ ，有 $f^{\prime}(x)>0$.
函数 $y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ 上的平均值为
设 $f(x)$ 在区间 $[-a, a](a>0)$ 上具有二阶连续导数， $f(0)=0$.
(1) 写出 $f(x)$ 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2) 证明: 在 $[-a, a]$ 上至少存在一点 $\eta$ ，使
$$
a^3 f^{\prime \prime}(\eta)=3 \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x .
$$
设 $f(x)=\lim _{t \rightarrow 0} x(1+3 t)^{\frac{x}{t}}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$
曲线 $\tan \left(x+y+\frac{\pi}{4}\right)=e^y$ 在点 $(0,0)$ 处切线方程为
设 $y=y(x)$ 是由方程 $x^2-y+1=e^y$ 所确定的隐函数，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
曲线 $y=x^2+x(x < 0)$ 上曲率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的点的坐标是
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln \sqrt{x}, & x \geq 1 \\ 2 x-1, & x < 1\end{array}, y=f[f(x)]\right.$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=e}=$
三、解答题 （ 共 66 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上可微, 对于 $[0,1]$ 上的每一个 $x$, 函数 $f(x)$ 的值都在开区间 $(0,1)$ 内, 且 $f^{\prime}(x) \neq 1$. 证明: 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个 $x$, 使 $f(x)=x$.
证明: 方程 $\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有且仅有两个不同实根.
设不恒为常数的函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 在开区间 $(a, b)$ 内可导, 且 $f(a)=f(b)$ 。证明在 $(a, b)$ 内至少存
在一点 $\xi$, 使 $f^{\prime}(\xi)>0$ 。
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $(0,1)$ 内可导, 且 $3 \int_{\frac{2}{3}}^{1} f(x) \mathrm{d} x=f(0)$, 证明: 在 $(0,1)$ 内存在一点 $c$, 使 $f^{\prime}(c)=0 .$
设 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=0$, 证明对任何 $x_{1}>0, x_{2}>0$, 有 $f\left(x_{1}+x_{2}\right) < f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)$.
设在 $[0,+\infty)$ 上函数 $f(x)$ 有连续导数, 且 $f^{\prime}(x) \geq k>0, f(0) < 0$, 证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有且仅有一个零点.
函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在二阶导数, 并且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$, 试证：
(1) 在开区间 $(a, b)$ 内 $g(x) \neq 0$;
(2) 在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$.
(1) 设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且导数 $f^{\prime}(x)$ 恒大于零，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调增加.
(2) 若 $g(x)$ 在 $x=c$ 处二阶导数存在，且 $g^{\prime}(c)=0, g^{\prime \prime}(c) < 0$ ，则 $g(c)$ 为 $g(x)$ 的一个极大值.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上有连续导数，且 $m \leq f(x) \leq M$.
(1) 求 $A=\lim _{a \rightarrow+0} \frac{1}{4 a^2} \int_{-a}^a[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{d} t$ ；
(2)证明: $\left|\frac{1}{2 a} \int_{-a}^a f(t) \mathrm{d} t-f(x)\right| \leq M-m(a>0)$.
证明方程 $\ln x=\frac{x}{e}-\int_0^\pi \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有且仅有两个不同实根.
假设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) \leq 0$ ，记 $F(x)=\frac{1}{x-a} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t$. 证明: 在 $(a, b)$ 内 $F^{\prime}(x) \leq 0$
证明: 当 $x>0$ 时，有不等式 $\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}$.
证明不等式
$$
1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \geq \sqrt{1+x^2}(-\infty < x < +\infty)
$$
设 $f(x)$ 在闭区间 $[0, c]$ 上连续，其导数 $f^{\prime}(x)$ 在开区间 $(0, c)$ 内存在，且单调减少， $f(0)=0$ ，试应用拉格郎日中值定理证明不等式 $f(a+b) \leq f(a)+f(b)$ ，其中常数 $a, b$ 满足条件 $0 \leq a \leq b \leq a+b \leq c$.
利用导数证明: 当 $x>1$ 时，有不等式 $\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}$成立.
已知 $x y=x f(z)+y g(z), x f^{\prime}(z)+y g^{\prime}(z) \neq 0$, 其中 $z=z(x, y)$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数. 求证:
$$
[x-g(z)] \frac{\partial z}{\partial x}=[y-f(z)] \frac{\partial z}{\partial y}
$$
证明不等式 $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)>\frac{1}{1+x} \quad(0 < x < +\infty)$.
设 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=0$ ，证明: 对任何 $x_1>0, x_2>0$,恒有 $f\left(x_1+x_2\right) < f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$.
求证: 当 $x \geq 1$ 时，
$$
\arctan x-\frac{1}{2} \arccos \frac{2 x}{1+x^2}=\frac{\pi}{4} .
$$
设 $x>0$ ，常数 $a>e$ ，证明： $(a+x)^a < a^{a+x}$.
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，且 $f(0)=0$ ，证明:
$$
\left|\int_0^a f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M a^2}{2} \text { ，其中 } M=\max _{0 \leq x \leq a}\left|f^{\prime}(x)\right| \text {. }
$$
设 $p, q$ 是大于 1 的常数，且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，证明：对于任意实数 $x>0$ ，有 $\frac{1}{p} x^p+\frac{1}{q} \geq x$.
假设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内二阶可导，过点 $A(0, f(0))$ 与 $B(1, f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C(c, f(c))$ ，其中 $0 < c < 1$. 证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$.
设当 $x>0$ 时，方程 $k x+\frac{1}{x}=1$ 有且仅有一个解，求 $k$的取值范围.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且递减，证明：当 $0 < \lambda < 1$ 时，
$$
\int_0^\lambda f(x) \mathrm{d} x \geq \lambda \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x .
$$
设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明：在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $\frac{b f(b)-a f(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)$.