一容器的内侧是由曲线 $C$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，其中曲线 $C$ 由 $x^2+y^2=2 y\left(y \geq \frac{1}{2}\right)$ 与 $x^2+y^2=1\left(y \leq \frac{1}{2}\right)$连接而成的.
(1) 求容器的容积；
（2）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功? (长度单位： m ，重力加速度为 $g \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，水的密度为 $10^3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ ).