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试卷17

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 1

的图形在点

(0, 1)

处的切线与

x

轴交点的坐标是

A.

(- \frac{1}{6}, 0)

B.

(- 1, 0)

C.

(\frac{1}{6}, 0)

D.

(1, 0)

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2. 若

- 3 a^{2} - 5 b < 0

，则方程

x^{5} + 2 a x^{3} + 3 b x + 4 c = 0

A.

无实根

B.

有唯一实根

C.

有三个不同实根

D.

有五个不同实根

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3. 若

y = x^{2} + a x + b

和

2 y = - 1 + x y^{3}

在

(1, - 1)

点相切，其中

a, b

是常数，则

A.

a = 0, b = - 2

B.

a = 1, b = - 3

C.

a = - 3, b = 1

D.

a = - 1, b = - 1

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4. 如图，

x

轴上有一线密度为常数

μ

，长度为

l

的细杆，若质量为

m

的质点到杆右端的距离为

a

，已知引力系数为

k

，则质点和细杆之间引力的大小为

A.

\int_{- l}^{0} \frac{k m μ d x}{(a - x)^{2}}

B.

\int_{0}^{l} \frac{k m μ d x}{(a - x)^{2}}

C.

2 \int_{- \frac{l}{2}}^{0} \frac{k m μ d x}{(a + x)^{2}}

D.

2 \int_{0}^{\frac{l}{2}} \frac{k m μ d x}{(a + x)^{2}}

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5. 设函数

z = f (x, y)

的全微分为

d z = x d x + y d y

，则点

(0, 0)

A.

不是

f (x, y)

的连续点

B.

不是

f (x, y)

的极值点

C.

是

f (x, y)

的极大值点

D.

是

f (x, y)

的极小值点

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6. 曲线

y = x^{2}

与曲线

y = a \ln x (a \neq 0)

相切, 则

A.

4 e

B.

3 e

C.

2 e

D.

e

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7. 设函数

f (x), g (x)

具有二阶导数，且

g^{''} (x) < 0

，若

g (x_{0}) = a

是

g (x)

的极值，则

f (g (x))

在

x_{0}

取极大值的一个充分条件是

A.

f^{'} (a) < 0

B.

f^{'} (a) > 0

C.

^{''} (a) < 0

D.

f^{''} (a) > 0

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8. 设函数

f (x)

具有二阶连续导数，且

f (x) > 0 ， f^{'} (0) = 0

，则函数

z = f (x) \ln f (y)

在点

(0, 0)

处取得极小值的一个充分条件是

A.

f (0) > 1, f^{''} (0) > 0

B.

f (0) > 1, f^{''} (0) < 0

C.

f (0) < 1, f^{''} (0) > 0

D.

f (0) < 1, f^{''} (0) < 0

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9. 已知

f (x)

在

x = 0

处可导，且

f (0) = 0

，则

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} f (x) - 2 f (x^{3})}{x^{3}} =

A.

- 2 f^{'} (0)

B.

- f^{'} (0)

C.

f^{'} (0)

D.

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10. 设函数

f (x), g (x)

均有二阶连续导数，满足

f (0) > 0, g (0) < 0

且

f^{'} (0) = g^{'} (0) = 0

，则函数

z = f (x) g (y)

在点

(0, 0)

处取得极小值的一个充分条件是

A.

f^{''} (0) < 0, g^{''} (0) > 0

B.

f^{''} (0) < 0, g^{''} (0) < 0

C.

f^{''} (0) > 0, g^{''} (0) > 0

D.

f^{''} (0) > 0, g^{''} (0) < 0

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二、填空题（共 16 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 曲线

y = \int_{0}^{x} (t - 1) (t - 2) d t

在点

(0, 0)

处的切线方程是

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12. 设

f (x) = x (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)

, 则

f^{'} (0) =

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13. 设

\tan y = x + y

，则

d y =

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14. 某商品的需求量

Q

与价格

P

的函数关系为

Q = a P^{b}

，其中

a

和

b

为常数，且

a \neq 0

，则需求量对价格

P

的弹性是

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15. 曲线

{\begin{cases} x = \cos^{3} t \\ y = \sin^{3} t \end{cases}

对应于

t = \frac{π}{6}

点处法线方程是

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16. 设函数

f (x)

有连续的导函数，

f (0) = 0

且

f^{'} (0) = b

，若函数

F (x) = {\begin{array}{cl} \frac{f (x) + a \sin x}{x}, & x \neq 0 \\ A & x = 0 \end{array}

在

x = 0

处连续，则常数

A =

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17. 设

y = \ln (1 + 3^{- x})

, 则

d y =

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18. 曲线

y = e^{- x^{2}}

的向上凸区间是

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19. 设

z = e^{\sin x y}

，则

d z =

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20. 设曲线

f (x) = x^{3} + a x

与

g (x) = b x^{2} + c

都通过点

(- 1, 0)

，且在点

(- 1, 0)

有公共切线，则

a =

b =

c =

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21. 设

f (x) = x e^{x}

，则

f^{(n)} (x)

在点

x =

处取极小值是

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22. 曲线

{\begin{cases} x = \int_{0}^{1 - t} e^{- u^{2}} d u \\ y = t^{2} \ln (2 - t^{2}) \end{cases}

在

(0, 0)

处的切线方程为

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23. 设某产品的需求函数为

Q = Q (P)

，其对应价格

P

的弹性

E_{P} = 0.2

，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加元

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24. 函数

y = \ln (1 - 2 x)

在

x = 0

处的

n

阶导数

y^{(n)} (0) =

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25. 已知一个长方形的长

l

以

2 cm / s

的速率增加，宽

w

以

3 cm / s

的速率增加，则当

l = 12 cm, w = 5 cm

时，它的对角线增加的速率为

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26. 若曲线

y = x^{3} + a x^{2} + b x + 1

有拐点

(- 1, 0)

，则

b =

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三、解答题（共 14 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

27. 做函数

y = \frac{6}{x^{2} - 2 x + 4}

的图形，并填写下表

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28. 将长为

a

的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小?

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29. 已知

y = \arcsin e^{- \sqrt{x}}

，求

y^{'}

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30. 已知

{\begin{cases} x = \ln (1 + t^{2}) \\ y = \arctan t \end{cases}

，求

\frac{d y}{d x}

及

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

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31. 对函数

y = \frac{x + 1}{x^{2}}

，填写下表

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32. 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为

P (x) = 10 e^{- \frac{x}{2}}

且最大需求量为 6 ，其中

x

表示需求量，

P

表示价格.
(1) 求该商品的边际收益函数;
(2) 求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格;
(3) 画出收益函数的图形.

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33. 求由方程

2 y - x = (x - y) \ln (x - y)

所确定的函数

y = y (x)

的微分

d y

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34. 求曲线

y = \frac{1}{1 + x^{2}} (x > 0)

的拐点.

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35. 设

{\begin{cases} x = t \cos t \\ y = t \sin t \end{cases}

，求

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

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36. 求

lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^{2} (e^{x} - 1)}

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37. 求函数

f (x) = \int_{1}^{x^{2}} (x^{2} - t) e^{- t^{2}} d t

的单调区间与极值.

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38. 求

f (x) = \int_{1}^{x^{2}} (x^{2} - t) e^{- t^{2}} d t

的单调区间与极值.

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39. 求方程

k \arctan x - x = 0

不同实根的个数，其中

k

为参数.

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40. 设函数

y = y (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = \frac{1}{3} t^{3} + t + \frac{1}{3} \\ y = \frac{1}{3} t^{3} - t + \frac{1}{3} \end{cases}

确定，求

y = y (x)

的极值和曲线

y = y (x)

的凹凸区间及拐点.

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