题号:766    题型:填空题    来源:1995年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 并设 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=A$, 求 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x) f(y) \mathrm{d} y$.
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答案:
方法一: 用重积分的方法.
将累次积分 $I=\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f(x) f(y) d y$ 表成二重积分
$$
I=\iint_{D} f(x) f(y) d x d y,
$$
其中 $D$ 如右图所示. 交换积分次序
$$
I=\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f(x) f(y) d x .
$$
由于定积分与积分变量无关, 改写成
$$
I=\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f(y) f(x) d y .
$$
\begin{aligned}
I &=\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f(y) f(x) d y \\
\Rightarrow \quad 2 I &=\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f(x) f(y) d y+\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f(x) f(y) d y \\
&=\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f(x) f(y) d y=\int_{0}^{1} f(x) d x \int_{0}^{1} f(y) d y=A^{2} . \\
\Rightarrow \quad I &=\frac{1}{2} A^{2} .
\end{aligned}

方法二: 用分部积分法.
注意 $d\left(\int_{x}^{1} f(y) d y\right)=-f(x) d x$, 将累次积分 $I$ 写成 $$ =\int_{0}^{1}\left(f(x) \int_{x}^{1} f(y) d y\right) d x=-\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} f(y) d y d\left(\int_{x}^{1} f(y) d y\right) $$ $=-\left.\frac{1}{2}\left(\int_{x}^{1} f(y) d y\right)^{2}\right|_{x=0} ^{x=1}=\frac{1}{2} A^{2} .$
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