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试卷48

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

在

x = a

处可导，则

lim_{x \to 0} \frac{f (a + x) - f (a - x)}{x} = ( )

A.

f^{'} (a)

B.

2 f^{'} (a)

C.

D.

f^{'} (2 a)

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2. 累次积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\cos θ} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

A.

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{\sqrt{y - y^{2}}} f (x, y) d x

B.

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f (x, y) d y

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{\sqrt{x - x^{2}}} f (x, y) d y

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3. 设

F (x) = \int_{x}^{x + 2 π} e^{\sin t} \sin t d t

，则

F (x)

A.

为正常数

B.

为负常数

C.

恒为零

D.

不为常数

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4. 如图，曲线方程为

y = f (x)

，函数

f (x)

在区间

[0, a]

上有连续导数，则定积分

\int_{0}^{a} x f^{'} (x) d x

在几何上表示

A.

曲边梯形

A B O D

的面积

B.

梯形

A B O D

的面积

C.

曲边三角形

A C D

面积

D.

三角形

A C D

面积

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二、填空题（共 16 题），请把答案直接填写在答题纸上

\int f^{'} (x) d x =

\int_{a}^{b} f^{'} (2 x) d x =

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lim_{x \to + 0} {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{\tan x} =

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\int x^{3} e^{x^{2}} d x =

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\int_{- 1}^{1} {(x + \sqrt{1 - x^{2}})}^{2} d x =

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\int \frac{d x}{\sqrt{x (4 - x)}} =

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10.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x^{2} + 4 x + 8} =

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11. 若

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}} \int_{0}^{1} f (x) d x

，则

\int_{0}^{1} f (x) d x =

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12.

\int \frac{\ln \sin x}{\sin^{2} x} d x =

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13.

\int \frac{\ln x - 1}{x^{2}} d x =

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14.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x \ln^{2} x} =

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15.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} =

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16.

\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} e^{\frac{1}{x}} d x =

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17. 设

f (x + \frac{1}{x}) = \frac{x + x^{3}}{1 + x^{4}}

, 则

\int_{2}^{2 \sqrt{2}} f (x) d x =

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18. 已知

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{k | x |} d x = 1

，则

k =

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19.

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} e^{- x} \sin n x d x =

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20.

\int_{0}^{2} x \sqrt{2 x - x^{2}} d x =

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三、解答题（共 20 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

21. 质点

P

沿着以

A B

为直径的半圆周, 从点

A (1, 2)

运动到点

B (3, 4)

的过程中受变力

F

作用（见图）。

F

的大小等于点

P

与原点

O

之间的距离, 其方向垂直于线段

O P

且与

y

轴正向的夹角小于

\frac{π}{2}

, 求变力

F

对质点

P

所作的功

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22. 设

{\begin{cases} x = 5 (t - \sin t) \\ y = 5 (1 - \cos t) \end{cases}

，求

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

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23. 已知

y = \ln \frac{\sqrt{1 + x^{2} - 1}}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1}

，求

y^{'}

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24. 已知

z = \arctan \frac{x + y}{x - y}

，求

d z

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25. 已知

\frac{\sin x}{x}

是

f (x)

的一个原函数，求

\int x^{3} f^{'} (x) d x

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26. 设

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{π - t} d t

，计算

\int_{0}^{π} f (x) d x

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27. 计算

\int_{0}^{\ln 2} \sqrt{1 - e^{- 2 x}} d x

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28. 求

\int \frac{d x}{1 + \sin x}

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29. 计算不定积分

\int \frac{\arctan x}{x^{2} (1 + x^{2})} d x

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30. 计算

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}} d x

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31. 求极限

I = lim_{x \to 0} [\frac{a}{x} - (\frac{1}{x^{2}} - a^{2}) \ln (1 + a x)] (a \neq 0)

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32. 计算积分

\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{| x - x^{2} |}} d x

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33. 计算

\int_{1}^{+ \infty} \frac{\arctan x}{x^{2}} d x

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34. 设

f (\ln x) = \frac{\ln (1 + x)}{x}

，计算

\int f (x) d x

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35. 计算

I = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{e^{1 + x} + e^{3 - x}}

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36. 计算不定积分

\int \frac{x e^{\arctan x}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x

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37. 设

f (x), g (x)

在

[0, 1]

上的导数连续，且

f (0) = 0

，

f^{'} (x) \geq 0 ， g^{'} (x) \geq 0

. 证明：对任何

a \in [0, 1]

，有

\int_{0}^{a} g (x) f^{'} (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) g^{'} (x) d x \geq f (a) g (1) .

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38. 计算不定积分

\int \ln (1 + \sqrt{\frac{1 + x}{x}}) d x (x > 0)

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39. 计算不定积分

\int \ln (1 + \sqrt{\frac{1 + x}{x}}) d x (x > 0)

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40. 求不定积分

\int \frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}} d x

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