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设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上的导数连续，且 $f(0)=0$ ， $f^{\prime}(x) \geq 0 ， g^{\prime}(x) \geq 0$. 证明：对任何 $a \in[0,1]$ ，有
$$
\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geq f(a) g(1) .
$$
                        
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