题号:906    题型:单选题    来源:1996年全国硕士研究生招生考试试题
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^{2}}$ 为某函数的全微分, 则 $a$ 等于 ( )
$A.$ $-1$. $B.$ 0 $C.$ 1 $D.$ 2
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 1 次查看 我来讲解
答案:
D

解析:

【解析】由于存在函数 $u(x, y)$, 使得 $d u=\frac{(x+a y) d x}{(x+y)^{2}}+\frac{y d y}{(x+y)^{2}}$,
由可微与可偏导的关系, 知
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x+a y}{(x+y)^{2}}, \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{(x+y)^{2}}
$$
分别对 $y, x$ 求偏导数, 得
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{a(x+y)^{2}-(x+a y) \cdot 2(x+y)}{(x+y)^{4}}=\frac{(a-2) x-a y}{(x+y)^{3}}
$$
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}=\frac{-2 y}{(x+y)^{3}} .
$$
由于 $\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}$ 与 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 连续, 所以 $\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$, 即
$$
\frac{(a-2) x-a y}{(x+y)^{3}}=\frac{-2 y}{(x+y)^{3}} \Rightarrow a=2
$$
故应选 (D).
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭