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试卷50

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 在曲线

x = t, y = - t^{2}, z = t^{3}

的所有切线中, 与平面

x + 2 y + z = 4

平行的切线

A.

只有 1 条.

B.

只有 2条.

C.

至少 3条.

D.

不存在.

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2. 双纽线

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = x^{2} - y^{2}

所围成的区域面积可用定积分表示为

A.

2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 θ d θ

B.

4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 θ d θ

C.

2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\cos 2 θ} d θ

D.

\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\cos 2 θ)^{2} d θ

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3. 设

M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{4} x d x, N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{4} x) d x, P = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{2} \sin^{3} x - \cos^{4} x) d x

, 则有

A.

N < P < M

B.

M < P < N

C.

N < M < P

D.

P < M < N

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4. 设有直线

L : {\begin{cases} x + 3 y + 2 z + 1 = 0 \\ 2 x - y - 10 z + 3 = 0 \end{cases}

及平面

π : 4 x - 2 y + z - 2 = 0

, 则直线

L ()

A.

平行于

π

B.

在

π

上.

C.

垂直于

π

D.

与

π

斜交.

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5. 设在

[0, 1]

上

f^{''} (x) > 0

, 则

f^{'} (0), f^{'} (1), f (1) - f (0)

或

f (0) - f (1)

的大小顺序是

A.

f^{'} (1) > f^{'} (0) > f (1) - f (0)

B.

f^{'} (1) > f (1) - f (0) > f^{'} (0)

C.

f (1) - f (0) > f^{'} (1) > f^{'} (0)

D.

f^{'} (1) > f (0) - f (1) > f^{'} (0)

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6. 下列广义积分收敛的是

A.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{\ln x}{x} d x

B.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x \ln x}

C.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x (\ln x)^{2}}

D.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}}

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7. 在下列等式中，正确的结果是

A.

\int f^{'} (x) d x = f (x)

B.

\int d f (x) = f (x)

C.

\frac{d}{d x} \int f (x) d x = f (x)

D.

d \int f (x) d x = f (x)

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8. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续，则

d [\int f (x) d x]

等于

A.

f (x)

B.

f (x) d x

C.

f (x) + C

D.

f^{'} (x) d x

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9. 设

A

为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

(x, y, z) A (\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}) = 1

在正交变换下的标准方程为双叶双曲面方程，则

A

的正特征值个数为

A.

B.

C.

D.

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二、判断题（共 1 题）

10. 等式

\int_{0}^{a} f (x) d x = - \int_{0}^{a} f (a - x) d x

，对任何实数

a

都成立.

A.

正确

B.

错误

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三、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 积分

\int_{0}^{2} d x \int_{x}^{2} e^{- y^{2}} d y

的值等于

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12. 曲面

z - e^{2} + 2 x y = 3

在点

(1, 2, 0)

处的切平面方程为

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13. 若

f (t) = lim_{x \to \infty} t {(1 + \frac{1}{x})}^{2 t x}

, 则

f^{'} (t) =

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14.

\int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}} d x =

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15.

\int_{0}^{π} t \sin t d t =

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16. 设

y = e^{\tan \frac{1}{x}} \cdot \sin \frac{1}{x}

，则

y^{'} =

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17.

\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x} d x =

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18. 下列两个积分差是（填写正数负数或者零）:

\int_{- 2}^{- 1} e^{- x^{3}} d x - \int_{- 2}^{- 1} e^{x^{3}} d x .

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19. 设

(x_{0}, y_{0})

是抛物线

y = a x^{2} + b x + c

上的一点，若在该点的切线过原点，则系数

a, b, c

应满足的关系是

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20. 对数螺线

ρ = e^{θ}

在点

(ρ, θ) = (e^{\frac{π}{2}}, \frac{π}{2})

处的切线的直角坐标方程为

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21. 曲面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

在点

(1, - 2, 2)

处的法线方程为

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四、解答题（共 19 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

22. 求

\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{(2 - x)^{2}} d x

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23. 设

n

是曲面

2 x^{2} + 3 y^{2} + z^{2} = 6

在点

P (1, 1, 1)

处的指向外侧的法向量, 求函数

u = \frac{\sqrt{6 x^{2} + 8 y^{2}}}{z}

在点

P

处沿方向

n

的方向导数.

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24. 计算定积分

\int_{- 2}^{2} (| x | + x) e^{- | x |} d x

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25. 计算定积分

\int_{0}^{1} x \arcsin x d x

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26. 计算不定积分

\int \frac{d x}{a^{2} \sin^{2} x + b^{2} \cos^{2} x}

(其中

a, b

为不全为零的非负数).

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27. (1) 求不定积分

\int e^{\sqrt{2 x - 1}} d x

.
(2) 计算定积分

\int_{\frac{1}{2}}^{1} e^{\sqrt{2 x - 1}} d x

.
(3) 计算不定积分

\int \frac{x d x}{x^{4} + 2 x^{2} + 5}

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28. 计算二重积分

\iint_{D} e^{x^{2}} d x d y

，其中

D

是第一象限中由

y = x, y = x^{3}

围成的封闭区域.

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29. 求椭球面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

上某点

M

处的切平面

π

的方程，使平面

π

过已知直线

L : \frac{x - 6}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{2 z - 1}{- 2} .

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30. 设

x \geq - 1

，求

\int_{- 1}^{x} (1 - | t |) d t

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31. 求定积分

\int_{0}^{3} \frac{d x}{\sqrt{x} (1 + x)}

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32. 求

\int \frac{d x}{x \ln^{2} x}

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33. 已知

f (2) = \frac{1}{2}, f^{'} (2) = 0

及

\int_{0}^{2} f (x) d x = 1

，求

\int_{0}^{1} x^{2} f^{''} (2 x) d x

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34. 设

f (x) = \sin x - \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t

，其中

f (x)

为连续函数，求

f (x)

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35. 求不定积分

F (x) = \int \frac{x + \ln (1 - x)}{x^{2}} d x

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36. 已知函数

f (x) = {\begin{array}{cc} x & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x & 1 < x \leq 2 \end{array}

，试计算下列各题:
(1)

S_{0} = \int_{0}^{2} f (x) e^{- x} d x

;
(2)

S_{1} = \int_{2}^{4} f (x - 2) e^{- x} d x

;
(3)

S_{n} = \int_{2 n}^{2 n + 2} f (x - 2 n) e^{- x} d x (n = 2, 3, \dots)

；
(4)

S = \sum_{n = 0}^{\infty} S_{n}

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37. 求曲面

z = \frac{x^{2}}{2} + y^{2}

平行于平面

2 x + 2 y - z = 0

的切平面方程.

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38. 设直线

L : {\begin{cases} x + y + b = 0 \\ x + a y - z - 3 = 0 \end{cases}

在平面

π

上，而平面

π

与曲面

z = x^{2} + y^{2}

相切于点

(1, - 2, 5)

，求

a, b

之值.

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39. 求直线

L : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}

在平面

π : x - y + 2 z

- 1 = 0

上的投影直线

L_{0}

的方程，并求

L_{0}

绕

y

轴旋转一周所成的曲面方程

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40. 已知曲线的极坐标方程是

r = 1 - \cos θ

，求该曲线上对应于

θ = \frac{π}{6}

处的切线与法线的直角坐标方程.

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