题号:615    题型:单选题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
双纽线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$ 所围成的区域面积可用定积分表示为
$A.$ $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$ $B.$ $4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$ $C.$ $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2 \theta} d \theta$ $D.$ $\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2 \theta)^{2} d \theta$
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答案:
A

解析:

由方程可以看出双纽线关于 $x$ 轴、 $y$ 轴对称, (如草图)
只需计算所围图形在第一象限部分的面积;
双纽线的直角坐标方程复杂, 而极坐标方程
较为简单: $\rho^{2}=\cos 2 \theta$.
显然, 在第一象限部分 $\theta$ 的变化范围是
$\theta \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$. 再由对称性得
$$
S=4 S_{1}=4 \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \rho^{2} d \theta=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta
$$
应选 (A).

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