一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域, $D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分, 则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于（ ）
$\text{A.}$ $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
$\text{B.}$ $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
$\text{D.}$ 0
曲线 $y=\sin ^2 x(0 \leq x \leq \pi)$ 与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转所形成的旋转体体积为
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi^2$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3} \pi$
曲线 $y=\cos x\left(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$轴旋转一周所成的旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{2}$
$\text{D.}$ $\pi^2$
设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角区域， $D_1$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_D(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于
$\text{A.}$ $2 \iint_{D_1} \cos x \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$\text{B.}$ $2 \iint_{D_1} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_1}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$\text{D.}$ 0
设 $0 \leq a_n < \frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则下列级数中肯定收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n^2$
设常数 $\lambda>0$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{\left|a_n\right|}{\sqrt{n^2+\lambda}}$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性与 $\boldsymbol{\lambda}$ 有关
下述各选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)^2$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n v_n\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 都收敛
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则 $u_n \geq \frac{1}{n}$
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $u_n \geq v_n(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也收敛
设数列 $x_n$ 与 $y_n$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=0$ ，则下列断言正确的是
$\text{A.}$ 若 $x_n$ 发散，则 $y_n$ 必发散
$\text{B.}$ 若 $x_n$ 无界，则 $y_n$ 必有界
$\text{C.}$ 若 $x_n$ 有界，则 $y_n$ 必为无穷小
$\text{D.}$ 若 $\frac{1}{x_n}$ 为无穷小，则 $y_n$ 必为无穷小
设 $\left\{u_n\right\}$ 是数列，则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
设 $a_n>0(n=1,2,3 \cdots)$ ，$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n,$ 则数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界是数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分也非必要条件
设区域 $D$ 由曲线 $y=\sin x, x= \pm \frac{\pi}{2}, y=1$ 围成，则 $\iint_D\left(x^5 y-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -$\pi$
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^\alpha}$ 绝对收敛，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{2-\alpha}}$条件收敛，则
$\text{A.}$ $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} < \alpha \leq 1$
$\text{C.}$ $1 < \alpha \leq \frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} < \alpha < 2$
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设平面曲线 $L$ 为下半圆 $y=-\sqrt{1-x^{2}}$, 则曲线积分 $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n+1}}$ 的收敛域是
曲线 $y=x^2$ 与直线 $y=x+2$ 所围成的平面图形的面积为
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{2 n}}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域为
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 3 ，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^{n+1}$ 收敛区间为
曲线 $y=\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$
曲线 $y=\sqrt{x^2-1}$ ，直线 $x=2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转所成的旋转体的体积为
三、解答题 （ 共 28 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求曲面积分 $I=\iint_{S} y z d z d x+2 d x d y$,
其中 $S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 外侧在 $z \geq 0$ 的部分
求 $\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z\right) \mathrm{d} v$, 其中 $\Omega$ 是由曲线
$\left\{\begin{array}{l}
y^{2}=2 z \\
x=0
\end{array}\right.$
绕 $ z $ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $ z=4$ 所围成的立体.
在过点 $O(0,0)$ 和 $A(\pi, 0)$ 的曲线族 $y=a \sin x(a>0)$ 中, 求一条曲线 $L$, 使沿该曲线从 $O$ 到 $A$ 的 积分 $\int_{L}\left(1+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ 的值最小.
设 $D$ 是曲线 $y=\sin x+1$ 与三条直线 $x=0, x=\pi$, $y=0$ 围成的曲边梯形，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
求二重积分 $\int_0^{\frac{\pi}{6}} \mathrm{~d} y \int_y^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{x} \mathrm{~d} x$.
在曲线 $y=x^2(x \geq 0)$ 上某点 $A$ 处作一切线，使之与曲线以及 $x$ 轴所围图形的面积为 $\frac{1}{12}$ ，试求:
(1) 切点 $A$ 的坐标;
(2) 过切点 $A$ 的切线方程;
(3) 由上述所围平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成旋转体的体积.
设空间区域 $\Omega$ 由曲面 $z=a^2-x^2-y^2$ 与平面 $z=0$围成，其中 $a$ 为正的常数，记 $\Omega$ 表面的外侧为 $S ， \Omega$ 的体积为 $V$ ，求证:
$$
\oint_S x^2 y z^2 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x y^2 z^2 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z(1+x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=V
$$
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 过原点，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $y \geq 0$ ，又已知该抛物线与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围成的面积为 $\frac{1}{3}$ ，试确定 $a, b, c$ 的值，使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $V$ 最小.
求二重积分 $I=\iint_D \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是 $x^2+y^2=1, x=0, y=0$ 所围成的区域在第 $I$ 象限部分.
在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的第一象限部分上求一点 $P$ ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小(其中 $a>0, b>0)$.
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$ ，其中 $x>0$ ，求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$.
过点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成一平面图形, 求此图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
计算 $\iint_D x e^{-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是曲线 $y=4 x^2$ 和 $y=9 x^2$ 在第一象限所围成的区域.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2}$ 的收敛域.
计算 $\iint_{\Sigma}-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是圆柱面 $x^2+y^2=4$ 被平面 $x+z=2$ 和 $z=0$ 所截出部分的外侧.
曲线 $y=(x-1)(x-2)$ 和 $x$ 轴围成一平面图形、求此平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转体的体积.
计算二重积分 $I=\iint_D y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x$ 轴， $y$轴与曲 $\sqrt{\frac{x}{a}}+\sqrt{\frac{y}{b}}=1$ 所围成的区域，其中 $a>0, b>0$.
假设曲线 $L_1: y=1-x^2(0 \leq x \leq 1) 、 x$ 轴和 $y$ 轴所围区域被曲线 $L_2: y=a x^2$ 分为面积相等的两部分，其中 $a$是大于零的常数，试确定的 $a$ 的值.
设 $a_1=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right),(n=1,2, \cdots)$ ，证明：
(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在；
(2) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)$ 收敛.
从点 $P_1(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线 $y=x^2$ 于点 $Q_1(1,1)$ ，再从 $Q_1$ 作这条抛物线的切线与 $x$ 轴交于 $P_2$ ，然后又从 $P_2$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $Q_2$ ，依次重复上述过程得到一系列的点 $P_1, Q_1, P_2, Q_2, \cdots, P_n, Q_n, \cdots$.
(1) 求 $\overline{O P_n}$;
(2) 求级数 $\overline{Q_1 P_1}+\overline{Q_2 P_2}+\cdots+\overline{Q_n P_n}+\cdots$ 的和. 其 中 $n(n>0)$ 为自然数， $\overline{M_1 M_2}$ 表示点 $M_1$ 与 $M_2$ 之间的距离.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\ldots+\frac{\sin \pi}{n+\frac{1}{n}}\right)$.