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试卷54

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设

D

是

x O y

平面上以

(1, 1), (- 1, 1)

和

(- 1, - 1)

为顶点的三角形区域,

D_{1}

是

D

在第一象限的部分, 则

\iint_{D} (x y + \cos x \sin y) d x d y

等于（　　）

A.

2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y d x d y

B.

2 \iint_{D_{1}} x y d x d y

C.

4 \iint_{D_{1}} (x y + \cos x \sin y) d x d y

D.

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2. 曲线

y = \sin^{2} x (0 \leq x \leq π)

与

x

轴围成的图形绕

x

轴旋转所形成的旋转体体积为

A.

\frac{4}{3}

B.

\frac{4}{3} π

C.

\frac{2}{3} π^{2}

D.

\frac{2}{3} π

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3. 曲线

y = \cos x (- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2})

与

x

轴围成的图形绕

x

轴旋转一周所成的旋转体的体积为

A.

\frac{π}{2}

B.

π

C.

\frac{π^{2}}{2}

D.

π^{2}

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4. 设

D

是

x O y

平面上以

(1, 1), (- 1, 1)

和

(- 1, - 1)

为顶点的三角区域，

D_{1}

是

D

在第一象限的部分，则

\iint_{D} (x y + \cos x \sin y) d x d y

等于

A.

2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y d x d y

B.

2 \iint_{D_{1}} x y d x d y

C.

4 \iint_{D_{1}} (x y + \cos x \sin y) d x d y

D.

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5. 设

0 \leq a_{n} < \frac{1}{n} (n = 1, 2, \dots)

，则下列级数中肯定收敛的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{a_{n}}

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}^{2}

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6. 设常数

λ > 0

，且级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

收敛，则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot \frac{| a_{n} |}{\sqrt{n^{2} + λ}}

A.

发散

B.

条件收敛

C.

绝对收敛

D.

收敛性与

λ

有关

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7. 下述各选项正确的是

A.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

和

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}^{2}

都收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} {(u_{n} + v_{n})}^{2}

收敛

B.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} | u_{n} v_{n} |

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

和

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}^{2}

都收敛

C.

若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散，则

u_{n} \geq \frac{1}{n}

D.

若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛，且

u_{n} \geq v_{n} (n = 1, 2, \dots)

，则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

也收敛

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8. 设数列

x_{n}

与

y_{n}

满足

lim_{n \to \infty} x_{n} y_{n} = 0

，则下列断言正确的是

A.

若

x_{n}

发散，则

y_{n}

必发散

B.

若

x_{n}

无界，则

y_{n}

必有界

C.

若

x_{n}

有界，则

y_{n}

必为无穷小

D.

若

\frac{1}{x_{n}}

为无穷小，则

y_{n}

必为无穷小

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9. 设

{u_{n}}

是数列，则下列命题正确的是

A.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

收敛

B.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛

C.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} - u_{2 n})

收敛

D.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} - u_{2 n})

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛

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10. 设

a_{n} > 0 (n = 1, 2, 3 \dots)

，

S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n},

则数列

{S_{n}}

有界是数列

{a_{n}}

收敛的

A.

充分必要条件

B.

充分非必要条件

C.

必要非充分条件

D.

非充分也非必要条件

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11. 设区域

D

由曲线

y = \sin x, x = \pm \frac{π}{2}, y = 1

围成，则

\iint_{D} (x^{5} y - 1) d x d y =

A.

π

B.

C.

-2

D.

π

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12. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^{α}}

绝对收敛，级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2 - α}}

条件收敛，则

A.

0 < α \leq \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{2} < α \leq 1

C.

1 < α \leq \frac{3}{2}

D.

\frac{3}{2} < α < 2

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二、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 设平面曲线

L

为下半圆

y = - \sqrt{1 - x^{2}}

, 则曲线积分

\int_{L} (x^{2} + y^{2}) d s =

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14. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{\sqrt{n + 1}}

的收敛域是

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15. 曲线

y = x^{2}

与直线

y = x + 2

所围成的平面图形的面积为

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16. 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 2)^{2 n}}{n \cdot 4^{n}}

的收敛域为

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17. 设幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

的收敛半径为 3 ，则幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} (x - 1)^{n + 1}

收敛区间为

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18. 曲线

y = \int_{0}^{x} \tan t d t (0 \leq x \leq \frac{π}{4})

的弧长

s =

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19. 曲线

y = \sqrt{x^{2} - 1}

，直线

x = 2

及

x

轴所围成的平面图形绕

x

轴旋转所成的旋转体的体积为

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三、解答题（共 21 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

20. 求曲面积分

I = \iint_{S} y z d z d x + 2 d x d y

,
其中

S

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

外侧在

z \geq 0

的部分

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21. 求

∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z) d v

, 其中

Ω

是由曲线

{\begin{cases} y^{2} = 2 z \\ x = 0 \end{cases}

绕

z

轴旋转一周而成的曲面与平面

z = 4

所围成的立体.

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22. 在过点

O (0, 0)

和

A (π, 0)

的曲线族

y = a \sin x (a > 0)

中, 求一条曲线

L

, 使沿该曲线从

O

到

A

的积分

\int_{L} (1 + y^{3}) d x + (2 x + y) d y

的值最小.

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23. 设

D

是曲线

y = \sin x + 1

与三条直线

x = 0, x = π

y = 0

围成的曲边梯形，求

D

绕

x

轴旋转一周所生成的旋转体的体积.

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24. 求二重积分

\int_{0}^{\frac{π}{6}} d y \int_{y}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos x}{x} d x

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25. 在曲线

y = x^{2} (x \geq 0)

上某点

A

处作一切线，使之与曲线以及

x

轴所围图形的面积为

\frac{1}{12}

，试求:
(1) 切点

A

的坐标;
(2) 过切点

A

的切线方程;
(3) 由上述所围平面图形绕

x

轴旋转一周所形成旋转体的体积.

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26. 设空间区域

Ω

由曲面

z = a^{2} - x^{2} - y^{2}

与平面

z = 0

围成，其中

a

为正的常数，记

Ω

表面的外侧为

S ， Ω

的体积为

V

，求证:

\oint_{S} x^{2} y z^{2} d y d z - x y^{2} z^{2} d z d x + z (1 + x y z) d x d y = V

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27. 设抛物线

y = a x^{2} + b x + c

过原点，当

0 \leq x \leq 1

时，

y \geq 0

，又已知该抛物线与

x

轴及直线

x = 1

所围成的面积为

\frac{1}{3}

，试确定

a, b, c

的值，使此图形绕

x

轴旋转一周而成的旋转体的体积

V

最小.

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28. 求二重积分

I = \iint_{D} \frac{1 - x^{2} - y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}} d x d y

，其中

D

是

x^{2} + y^{2} = 1, x = 0, y = 0

所围成的区域在第

I

象限部分.

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29. 在椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

的第一象限部分上求一点

P

，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小(其中

a > 0, b > 0)

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30. 设

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1 + t} d t

，其中

x > 0

，求

f (x) + f (\frac{1}{x})

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31. 过点

P (1, 0)

作抛物线

y = \sqrt{x - 2}

的切线与上述抛物线及

x

轴围成一平面图形, 求此图形绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积.

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32. 计算

\iint_{D} x e^{- y^{2}} d x d y

，其中

D

是曲线

y = 4 x^{2}

和

y = 9 x^{2}

在第一象限所围成的区域.

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33. 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 3)^{n}}{n^{2}}

的收敛域.

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34. 计算

\iint_{Σ} - y d z d x + (z + 1) d x d y

，其中

Σ

是圆柱面

x^{2} + y^{2} = 4

被平面

x + z = 2

和

z = 0

所截出部分的外侧.

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35. 曲线

y = (x - 1) (x - 2)

和

x

轴围成一平面图形、求此平面图形绕

y

轴旋转一周所成的旋转体的体积.

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36. 计算二重积分

I = \iint_{D} y d x d y

，其中

D

是由

x

轴，

y

轴与曲

\sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{y}{b}} = 1

所围成的区域，其中

a > 0, b > 0

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37. 假设曲线

L_{1} : y = 1 - x^{2} (0 \leq x \leq 1) 、 x

轴和

y

轴所围区域被曲线

L_{2} : y = a x^{2}

分为面积相等的两部分，其中

a

是大于零的常数，试确定的

a

的值.

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38. 设

a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}}), (n = 1, 2, \dots)

，证明：
(1)

lim_{n \to \infty} a_{n}

存在；
(2) 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1)

收敛.

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39. 从点

P_{1} (1, 0)

作

x

轴的垂线，交抛物线

y = x^{2}

于点

Q_{1} (1, 1)

，再从

Q_{1}

作这条抛物线的切线与

x

轴交于

P_{2}

，然后又从

P_{2}

作

x

轴的垂线，交抛物线于点

Q_{2}

，依次重复上述过程得到一系列的点

P_{1}, Q_{1}, P_{2}, Q_{2}, \dots, P_{n}, Q_{n}, \dots

.
(1) 求

\overset{―}{O P_{n}}

;
(2) 求级数

\overset{―}{Q_{1} P_{1}} + \overset{―}{Q_{2} P_{2}} + \dots + \overset{―}{Q_{n} P_{n}} + \dots

的和. 其中

n (n > 0)

为自然数，

\overset{―}{M_{1} M_{2}}

表示点

M_{1}

与

M_{2}

之间的距离.

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40. 求

lim_{n \to \infty} (\frac{\sin \frac{π}{n}}{n + 1} + \frac{\sin \frac{2 π}{n}}{n + \frac{1}{2}} + \dots + \frac{\sin π}{n + \frac{1}{n}})

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