设空间区域 $\Omega$ 由曲面 $z=a^2-x^2-y^2$ 与平面 $z=0$围成，其中 $a$ 为正的常数，记 $\Omega$ 表面的外侧为 $S ， \Omega$ 的体积为 $V$ ，求证:
$$
\oint_S x^2 y z^2 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x y^2 z^2 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z(1+x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=V
$$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$