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试卷57

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 21 题），每题只有一个选项正确

1. 设矩阵

A = (\begin{array}{cccc} 1 & - 3 & 1 & - 2 \\ 2 & - 5 & - 2 & - 2 \\ 0 & - 4 & 5 & 1 \\ - 3 & 9 & - 6 & 7 \end{array}), M_{3 j}

是

A

的第 3 行第

j

列元素的余子式

(j = 1, 2, 3, 1)

. 则

M_{31} + 3 M_{32} - 2 M_{33} + 2 M_{34} =

A.

B.

C.

-2

D.

-3

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2. 设

A

是 3 阶矩阵, 将

A

的第 2 列加到第 3 列得矩阵

B

, 再将

B

的第 3 行的

- 1

倍加到第 2 行得

(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a \end{array})

, 其中

a

为常数, 则

A

的 3 个特征值为

A.

1, - 1, 2

B.

1, 2, - 2

C.

1, 2, a

D.

1, a, - a

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3. 设随机变量

X, Y

相互独立, 且

X \sim E (a), Y \sim E (b) (a > 0, b > 0, a \neq b)

, 则服从

E (a + b)

的随机变量是

A.

X + Y

B.

X Y

C.

max {X, Y}

D.

min {X, Y}

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4. 若两事件

A, B

同时出现的概率

P (A B) = 0

，则

A.

A, B

互不相容(互斥)

B.

A B

是不可能事件

C.

A B

未必是不可能事件

D.

P (A) = 0

或

P (B) = 0

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5. 对于任何两事件

A, B

，有

P (A - B) =

A.

P (A) - P (B)

B.

P (A) - P (B) + P (A B)

C.

P (A) - P (A B)

D.

P (A) - P (\bar{B}) - P (A \bar{B})

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6. 设

A, B

为两随机事件，且

B \subset A

，则下列式子正确的是

A.

P (A + B) = P (A)

B.

P (A B) = P (A)

C.

P (B ∣ A) = P (B)

D.

P (B - A) = P (B) - P (A)

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7. 设

A

和

B

是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论正确的是

A.

\bar{A}

与

\bar{B}

不相容

B.

\bar{A}

与

\bar{B}

相容

C.

P (A B) = P (A) P (B)

D.

P (A - B) = P (A)

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8. 设随机变量

X

与

Y

均服从正态分布，

X \sim N (μ, 4^{2}), Y \sim N (μ, 5^{2}),

记

p_{1} = P {X \leq μ - 4}, p_{2} = P {Y \geq μ + 5}

，则

A.

对任何实数

μ

，都有

p_{1} = p_{2}

B.

对任何实数

μ

，都有

p_{1} < p_{2}

C.

只对

μ

的个别值，才有

p_{1} = p_{2}

D.

对任何实数

μ

，都有

p_{1} > p_{2}

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9. 设随机变量

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，则随着

σ

的增大，概率

{| X - μ | < σ}

A.

单调增大

B.

单调减小

C.

保持不变

D.

增减不定

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10. 设

A, B

为任意两个事件且

A \subset B, P (B) > 0

, 则下列选项必然成立的是

A.

P (A) < P (A ∣ B)

B.

P (A) \leq P (A ∣ B)

C.

P (A) > P (A ∣ B)

D.

P (A) \geq P (A ∣ B)

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11. 设

A, B

是两个随机事件，且

0 < P (A) < 1, P (B) > 0, P (B ∣ A) = P (B ∣ \bar{A}) ，

则必有

A.

P (A ∣ B) = P (\bar{A} ∣ B)

B.

P (A ∣ B) \neq P (\bar{A} ∣ B)

C.

P (A B) = P (A) P (B)

D.

P (A B) \neq P (A) P (B)

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12. 设

A, B, C

三个事件两两独立，则

A, B, C

相互独立的充分必要条件是

X =

A.

A

与

B C

独立

B.

A B

与

A \cup C

独立

C.

A B

与

A C

独立

D.

A \cup B

与

A \cup C

独立

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13. 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：

A_{1} = {{

掷第一次出现正面

} ， A_{2} = {

掷第二次出现正面

} ， A_{3} = {

正、反面各出现一次

} ， A_{4} = {

正面出现两次

}

，则事件

A.

A_{1}, A_{2}, A_{3}

相互独立

B.

A_{2}, A_{3}, A_{4}

相互独立

C.

A_{1}, A_{2}, A_{3}

两两独立

D.

A_{2}, A_{3}, A_{4}

两两独立

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14. 设随机变量

X

服从正态分布

N (0, 1)

，对给定的

α (0 < α < 1)

，数

u_{α}

满足

P {X > u_{α}} = α

，若

P {| X | < x} = α

，则

x

等于

A.

u_{\frac{α}{2}}

B.

u_{1 - \frac{α}{2}}

C.

u_{\frac{1 - α}{2}}

D.

u_{1 - α}

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15. 设随机变量

X

服从正态分布

N (0, 1)

，对给定的

α (0 < α < 1)

，数

u_{α}

满足

P {X > u_{α}} = α

，若

P {| X | < x} = α

，则

x

等于

A.

u_{\frac{α}{2}}

B.

u_{1 - \frac{α}{2}}

C.

u_{\frac{1 - α}{2}}

D.

u_{1 - α}

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16. 设随机变量

X

服从正态分布

N (μ_{1}, σ_{1}^{2}) ， Y

服从正态分布

N (μ_{2}, σ_{2}^{2})

，且

P {| X - μ_{1} | < 1} > P {| Y - μ_{2} | < 1}

,则必有

A.

σ_{1} < σ_{2}

B.

σ_{1} > σ_{2}

C.

μ_{1} < μ_{2}

D.

μ_{1} > μ_{2}

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17. 设随机变量

X

服从正态分布

N (μ_{1}, σ_{1}^{2}) ， Y

服从正态分布

N (μ_{2}, σ_{2}^{2})

，且

P {| X - μ_{1} | < 1} > P {| Y - μ_{2} | < 1}

，则必有

A.

σ_{1} < σ_{2}

B.

σ_{1} > σ_{2}

C.

μ_{1} < μ_{2}

D.

μ_{1} > μ_{2}

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18. 设

f_{1} (x)

为标准正态分布的概率密度，

f_{2} (x)

为

[- 1, 3]

上均匀分布的概率密度，若

f (x) = {\begin{cases} a f_{1} (x), x \leq 0 \\ b f_{2} (x), x > 0 \end{cases} (a > 0, b > 0)

为概率密度，则

a, b

应满足

A.

2 a + 3 b = 4

B.

3 a + 2 b = 4

C.

a + b = 1

D.

a + b = 2

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19. 设总体

X

服从参数为

λ (λ > 0)

的泊松分布，

X_{1}, X_{2}

，

\dots, X_{n} (n \geq 2)

为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量

T_{1} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, T_{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n - 1} X_{i} + \frac{1}{n} X_{n}

，有

A.

E T_{1} > E T_{2}, D T_{1} > D T_{2}

B.

E T_{1} > E T_{2}, D T_{1} < D T_{2}

C.

E T_{1} < E T_{2}, D T_{1} > D T_{2}

D.

E T_{1} < E T_{2}, D T_{1} < D T_{2}

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20. 设

A

为 3 阶矩阵，

P

为 3 阶可逆矩阵，且

P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}),

若

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) ， Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

，则

Q^{- 1} A Q =

A.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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21. 设随机变量

X

与

Y

相互独立，且都服从区间

(0, 1)

上的均匀分布，则

P {x^{2} + y^{2} \leq 1} =

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{π}{8}

D.

\frac{π}{4}

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二、填空题（共 19 题），请把答案直接填写在答题纸上

22. 设在一次试验中, 事件

A

发生的概率为

p

. 现进行

n

次独立试验, 则

A

至少发生一次的概率为 ; 而事件

A

至多发生一次的概率为（　　），而事件

A

至多发生一次的概率为（　　）

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23. 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于

已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为

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24. 设三次独立试验中, 事件

A

出现的概率相等. 若已知

A

至少出现一次的概率等于

\frac{19}{27}

, 则事件

A

在一次试验中出现的概率为

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25. 在区间

(0, 1)

中随机地取两个数, 则事件“两数之和小于

\frac{6}{5}

” 的概率为

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26. 设随机变量

X

服从均值为 10 , 均方差为

0.02

的正态分布. 已知

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{u^{2}}{2}} d u, Φ (2.5) = 0.9938,

则

X

落在区间

(9.95, 10.05)

内的概率为

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27. 已知随机事件

A

的概率

P (A) = 0.5

, 随机事件

B

的概率

P (B) = 0.6

及条件概率

P (B ∣ A) =

0.8

, 则和事件

A \cup B

的概率

P (A \cup B) =

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28. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为

0.6

和

0.5

. 现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为

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29. 若随机变量

ξ

在

(1, 6)

上服从均匀分布, 则方程

x^{2} + ξ x + 1 = 0

有实根的概率是

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30. 设随机事件

A 、 B

及其和事件

A \cup B

的概率分别是

0.4 、 0.3

和

0.6

, 若

\bar{B}

表示

B

的对立事件, 那么积事件

A \bar{B}

的概率

P (A \bar{B}) =

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31. 若随机变量

X

服从均值为 2 , 方差为

σ^{2}

的正态分布, 且

P {2 < X < 4} = 0

. 3, 则

P {X < 0} =

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32. 设工厂

A

和工厂

B

的产品的次品率分别为

1 %

和

2 %

, 现从由

A

厂和

B

厂的产品分别占

60 %

和

40 %

的一批产品中随机抽取一件, 发现是次品, 则该次品是 A厂生产的概率是

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33. 设

ξ, η

是两个相互独立且均服从正态分布

N (0, {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2})

的随机变量, 则随机变量

| ξ - η |

的数学期望

E (| ξ - η |) =

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34. 设

A = (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{array})

f (x) = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{2 n + 1}

,则

f (A) =

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35. 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 0

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36. 随机地向半圆

0 < y < \sqrt{2 a x - x^{2}} (a > 0)

内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与

x

轴的夹角小于

\frac{π}{4}

的概率为

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37. 设

A ， B

为随机事件，

P (A) = 0.7, P (A - B) = 0.3

,则

P (\overset{―}{A B}) =

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38. 设 10 件产品有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为

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39. 假设一批产品中一，二，三等品各占

650 %, 30 %, 10 %

，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为

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40. 一实习生用同一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第

i

个零件是不合格品的概率

p_{i} = \frac{1}{i + 1} (i = 1, 2, 3)

，以

X

表示 3 个零件中合格品的个数，则

P (X = 2) =

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