题号:2623    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,1)$. 则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$A.$ 0 $B.$ 1 $C.$ -2 $D.$ -3
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答案:
D

解析:

记 $A_{3 j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行第 $j$ 列元責的代数余子式, 则 $A_{3 j}=(-1)^{3+j} M_{3 j}(j=1,2,3,4)$. 对 $\boldsymbol{A}$ 的 第 1 行元星利用代数余子式的性质, 得 $A_{31}-3 A_{32}+A_{33}-2 A_{34}=0$, 即
$$
M_{31}+3 M_{32}+M_{33}+2 M_{34}=0,
$$
所以
$$
M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=-3 M_{33}=-3\left|\begin{array}{ccc}
1 & -3 & -2 \\
2 & -5 & -2 \\
-3 & 9 & 7
\end{array}\right|=-3 .
$$
应选 D.
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