题号:921    题型:填空题    来源:1996年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\xi, \eta$ 是两个相互独立且均服从正态分布 $N\left(0,\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right)$ 的随机变量, 则随机变量 $|\xi-\eta|$ 的数 学期望 $E(|\xi-\eta|)=$
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答案:
$\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

解析:

【解析】由于 $\xi$ 与 $\eta$ 相互独立且均服从正态分布 $N\left(0,\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right)$, 因此它们的线性函数 $U=\xi-\eta$ 服从正态分布, 且
$$
\begin{aligned}
&E U=E(\xi-\eta)=E \xi-E \eta=0 \\
&D U=D(\xi-\eta)=D \xi+D \eta=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1,
\end{aligned}
$$
所以有 $U \sim N(0,1)$.
代入正态分布的概率密度公式, 有
$$
f(u)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{u^{2}}{2}} d u
$$
应用随机变量函数的期望公式有
$$
E(|\xi-\eta|)=E(|U|)=\int_{-\infty}^{+\infty}|u| \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{u^{2}}{2}} d u=2 \int_{0}^{+\infty} u \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{u^{2}}{2}} d u
$$
由凑微分法, 有
$$
E(|\xi-\eta|)=-2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{u^{2}}{2}} d\left(-\frac{u^{2}}{2}\right)=-\left.\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{u^{2}}{2}}\right|_{0} ^{+\infty}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}
$$
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