题号:2627    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim E(a), Y \sim E(b)(a > 0, b > 0, a \neq b)$, 则服从 $E(a+b)$ 的 随机变量是
$A.$ $X+Y$. $B.$ $X Y$. $C.$ $\max \{X, Y\}$. $D.$ $\min \{X, Y\}$.
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答案:
D

解析:

由于 $X \sim E(a), Y \sim E(b)$, 故 $X, Y$ 的分布函数依次为
$$
F_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1-\mathrm{e}^{-a x}, & x \geqslant 0, \\
0, & x < 0,
\end{array} F_Y(x)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-t x}, & x \geqslant 0, \\
0, & x < 0,\end{cases}\right.
$$
且 $E(X)=\frac{1}{a}, E(Y)=\frac{1}{b}$. 于是, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \neq \frac{1}{a+b}$. 由 $X, Y$ 相互独立, 得 $E(X Y)=E(X) E(Y)=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \neq \frac{1}{a+b}$. 这表明: 选项 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 均应排除. 设 $U=\max \{X, Y\}$, 其分 布函数记为 $F_U(x)$, 则由 $X, Y$ 相互独立得,
$$
\begin{aligned}
F_U(x) &=P\{\max \{X, Y\} \leqslant x\}=P\{X \leqslant x, Y \leqslant x\}=P\{X \leqslant x\} P\{Y \leqslant x\} \\
&=F_X(x) F_Y(x)= \begin{cases}\left(1-\mathrm{e}^{-a x}\right)\left(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{dx}}\right), & x \geqslant 0, \\
0, & x < 0,\end{cases}
\end{aligned}
$$
故 $U=\max \{X, Y\}$ 不服从 $E(a+b)$, 选项 C 也应排除, 从而应选 D.
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