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试卷56

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 25 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

β_{1} 、 β_{2}

是非齐次线性方程组

A x = b

的两个不同的解,

α_{1} 、 α_{2}

是对应齐次线性方程组

A x = 0

的基础解系,

k_{1}, k_{2}

为任意常数, 则方程组

A x = b

的通解 (一般解) 必是

A.

k_{1} α_{1} + k_{2} (α_{1} + α_{2}) + \frac{β_{1} - β_{2}}{2}

B.

k_{1} α_{1} + k_{2} (α_{1} - α_{2}) + \frac{β_{1} + β_{2}}{2}

C.

k_{1} α_{1} + k_{2} (β_{1} + β_{2}) + \frac{β_{1} - β_{2}}{2}

D.

k_{1} α_{1} + k_{2} (β_{1} - β_{2}) + \frac{β_{1} + β_{2}}{2}

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2. 当

x \to 0

时,

x - \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) \sim c x^{k}

, 则

c, k

分别是

A.

\frac{1}{6}, 3

B.

\frac{1}{6}, 2

C.

\frac{1}{3}, 2

D.

\frac{1}{3}, 3

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3. 曲线

f (x) = \int_{x}^{\sqrt{3}} x \sin t^{2} d t

与直线

x = 0, x = \sqrt{3}, y = 0

所围平面图形绕

y

轴旋转一周所形成的旋转体的体积为

A.

\frac{1}{3} π \sin 3 - π \cos 3

B.

- \frac{1}{3} π \sin 3 - π \cos 3

C.

\frac{2}{3} π \sin 3 - 2 π \cos 3

D.

- π \cos 3 - π \sin 3

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lim_{n \to \infty} \frac{π}{2 n^{4}} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} i^{2} \sin \frac{π j}{2 n} =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{1}{4}

D.

\frac{1}{5}

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5. 下列级数中收敛的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} {[n \ln (1 + \frac{1}{n})]}^{n}

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt[3]{n + 1} - \sqrt[3]{n})

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n + 1} + (- 1)^{n}}

D.

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}

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6. 若方程

a (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 4 (x y + y z + z x) = 1

的图形是双叶双曲面, 则常数

a

的取值范围为

A.

a < - 4

B.

- 4 < a < 2

C.

- 2 < a < 4

D.

a < 2

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7. 当

x \to 0

时,

x - \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) \sim c x^{k}

, 则

c, k

分别是

A.

\frac{1}{3}, 3

B.

\frac{1}{6}, 3

C.

\frac{1}{3}, 2

D.

\frac{1}{6}, 2

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8. 曲线

y = f (x) = \int_{x}^{\sqrt{3}} x \sin t^{2} d t

与直线

x = 0, x = \sqrt{3}, y = 0

所围平面图形绕

y

轴旋转一周所形成的旋转体的体积为

A.

\frac{1}{3} π \sin 3 - π \cos 3

B.

- \frac{1}{3} π \sin 3 - π \cos 3

C.

\frac{2}{3} π \sin 3 - 2 π \cos 3

D.

- π \cos 3 - \sin 3

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9. 设

A

为

n

阶方阵，其秩

r < n

，那么在

A

的

n

个行向量中

A.

必有

r

个行向量线性无关

B.

任意

r

个行向量线性无关

C.

任意

r

个行向量都构成极大线性无关向量组

D.

任意一个行向量都可以由其他

r

个行向量线性表示

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10.

n

维向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} (3 \leq s \leq n)

线性无关的充分必要条件是

A.

存在一组不全为 0 的数

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}

, 使

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{s} α_{s} \neq 0

B.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中任意两个向量都线性无关

C.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出

D.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中任意一个向量都不能用其余向量线性表出

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11. 微分方程

y^{''} - y = e^{x} + 1

的一个特解应具有形式为 (以下

a, b

为常数)

A.

a e^{x} + b

B.

a x e^{x} + b

C.

a e^{x} + b x

D.

a x e^{x} + b x

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12. 设

A

是

n

阶矩阵，且

A

的行列式

| A | = 0

，则

A

中

A.

必有一列元素全为 0

B.

必有两列元素对应成比例

C.

必有一列向量是其余列向量的线性组合

D.

任一列向量是其余列向量的线性组合

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13. 设

A

和

B

均为

n \times n

矩阵，则必有

A.

| A + B | = | A | + | B |

B.

A B = B A

C.

| A B | = | B A |

D.

(A + B)^{- 1} = A^{- 1} + B^{- 1}

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14. 设

A

为

n

阶可逆矩阵，

λ

是

A

的一个特征根，则

A

的伴随矩阵

A^{*}

的特征根之一是

A.

λ^{- 1} | A |^{n}

B.

λ^{- 1} | A |

C.

λ | A |

D.

λ | A |^{n}

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15. 设

A

与

B

为

n

阶方阵，且

A B = 0

，则必有

A.

A = 0

或

B = 0

B.

A B = B A

C.

| A | = 0

或

| B | = 0

D.

| A | + | B | = 0

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16. 设

A

是

m \times n

矩阵，

A x = 0

是非齐次线性方程组

A x = b

所对应的齐次线性方组,则下列结论正确的是

A.

若

A x = 0

仅有零解，则

A x = b

有唯一解

B.

若

A x = 0

有非零解，则

A x = b

有无穷多个解

C.

若

A x = b

有无穷多个解，则

A x = 0

仅有零解

D.

若

A x = b

有无穷多个解，则

A x = 0

有非零解

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17. 设

A

为

n

阶非零矩阵，

E

为

n

阶单位阵. 若

A^{3} = O

，则

A.

E - A

不可逆，则

E + A

不可逆

B.

E - A

不可逆，则

E + A

可逆

C.

E - A

可逆，则

E + A

可逆

D.

E - A

可逆，则

E + A

不可逆

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18. 设

A

为 4 阶实对称矩阵，且

A^{2} + A = O

，若

A

的秩为 3，则

A

相似于

A.

(\begin{array}{llll} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

B.

(\begin{array}{cccc} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

C.

(\begin{array}{llll} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

D.

(\begin{array}{llll} - 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

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19. 设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

是 4 阶矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，若

(1, 0, 1, 0)^{T}

是方程组

A x = 0

的一个基础解系，则

A^{*} x = 0

的基础解系可为

A.

α_{1}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{2}

C.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

D.

α_{2}, α_{3}, α_{4}

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20. 设

A

为

4 \times 3

矩阵，

η_{1}, η_{2}, η_{3}

是非齐次线性方程组

A x = β

的 3 个线性无关的解，

k_{1}, k_{2}

为任意常数，则

A x = β

的通解为

A.

\frac{η_{2} + η_{3}}{2} + k_{1} (η_{2} - η_{1})

B.

\frac{η_{2} - η_{3}}{2} + k_{2} (η_{2} - η_{1})

C.

\frac{η_{2} + η_{3}}{2} + k_{1} (η_{3} - η_{1}) + k_{2} (η_{2} - η_{1})

D.

\frac{η_{2} - η_{3}}{2} + k_{2} (η_{2} - η_{1}) + k_{3} (η_{3} - η_{1})

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21. 设

α_{1} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ c_{1} \end{array}), α_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ c_{2} \end{matrix}), α_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ c_{3} \end{matrix}), α_{4} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ c_{1} \end{matrix})

，其中

c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}

为任意常数，则下列向量组线性相关的是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{2}, α_{4}

C.

α_{1}, α_{3}, α_{4}

D.

α_{2}, α_{3}, α_{4}

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22. 设

α_{1} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ c_{1} \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ c_{2} \end{array}), α_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ c_{3} \end{matrix}), α_{4} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ c_{4} \end{matrix})

，其中

c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}

为任意常数，则下列向量组线性相关的是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{2}, α_{4}

C.

α_{1}, α_{3}, α_{4}

D.

α_{2}, α_{3}, α_{4}

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23. 设

A

为 3 阶矩阵，

P

为 3 阶可逆矩阵，且

P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}),

若

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) ， Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

，则

Q^{- 1} A Q =

A.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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24. 设

α_{1} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ c_{1} \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ c_{2} \end{array}), α_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ c_{3} \end{matrix}), α_{4} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ c_{4} \end{matrix})

, 其中

c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}

为任意常数，则下列向量组线性相关的是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{2}, α_{4}

C.

α_{1}, α_{3}, α_{4}

D.

α_{2}, α_{3}, α_{4}

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25. 设

A

为 3 阶矩阵，

P

为 3 阶可逆矩阵，且

P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) ，若 P = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) ，

Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

，则

Q^{- 1} A Q =

A.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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二、判断题（共 6 题）

26.

lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}} = \infty

A.

正确

B.

错误

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27.

\int_{- π}^{π} x^{4} \sin x d x = 0

A.

正确

B.

错误

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28. 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

均发散，则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n})

必发散

A.

正确

B.

错误

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29. 若极限

lim_{x \to x_{0}} f (x)

与

lim_{x \to x_{0}} f (x) g (x)

都存在，则极限

lim_{x \to x_{0}} g (x)

必存在. （填写正确或错误）

A.

正确

B.

错误

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30. 若

x_{0}

是函数

f (x)

的极值点，则必有

f^{'} (x_{0}) = 0

A.

正确

B.

错误

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31. 若

A

和

B

都是

n

阶非零方阵，且

A B = 0

，则

A

的秩必小于

n

A.

正确

B.

错误

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三、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

32. 设矩阵

A = (\begin{array}{lll} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}), E = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

, 则逆矩阵

(A - 2 E)^{- 1} =

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33. 设 4 阶方阵

A = (\begin{array}{cccc} 5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array})

, 则

A

的逆矩阵

A^{- 1} =

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34. 设

f (x) = \sqrt[3]{x \sin^{2} x} (- π < x < π)

, 则

f^{'} (x) =

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35. 设

f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} d t, x \neq 0

, 则

\int x^{2} f^{'} (x) d x =

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36.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{2^{n}}) =

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37. 设

Σ

为由曲线

{\begin{cases} 3 x^{2} + 2 y^{2} = 33, \\ z = 0 \end{cases}

绕

y

轴旋转一周所形成的旋转曲面,

Π

为曲面

Σ

在点

M (1, 3, 2)

处的切平面, 则坐标原点到平面

Π

的距离为

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38. 设

y = y (x)

是由方程

y^{3} + x y + x^{2} - 2 x + 1 = 0

在点

(1, 0)

的某邻域内确定的可微函数, 求

lim_{x \to 1} \frac{\int_{1}^{x} y (t) d t}{(x - 1)^{3}}

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39. 设

f (x)

二阶可导, 且

f (0) = 0, f^{'} (0) = 0

, 若

g (x, y) = \int_{0}^{y} f (x t) d t

满足方程

\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y} - x y g (x, y) = x y^{2} \sin x y,

求

g (x, y)

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40. 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{8 n^{2} + 2 n - 1}

在收敛区间内的和函数.

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