题号:2635    题型:填空题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
类型:模拟考试
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}$.
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答案:
$$
=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}
$$

$$
=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{y(x)}{3(x-1)^2}
$$

$$
=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{y^{\prime}(x)}{6(x-1)} ...(1)
$$


由题给方程及隐函数求导法则有 $3 y^2 y^{\prime}+x y^{\prime}+y+2 x-2=0$, 得
$$
y^{\prime}(x)=-\frac{y+2 x-2}{3 y^2+x},...(2)
$$
故 $y=y(x)$ 在点 $x=1$ 的某邻域内二阶导数存在, 且 $\lim _{x \rightarrow 1} y^{\prime}(x)=y^{\prime}(1)=0$. (1) 式为 “ $\frac{0}{0} ”$ 型, 对 (1) 式再用洛必达法则
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{y^{\prime \prime}(x)}{6} \text {. }
$$
将 (2) 式再对 $x$ 求导, 有 $y^{\prime \prime}(x)=-\frac{\left(3 y^2+x\right)\left(y^{\prime}+2\right)-(y+2 x-2)\left(6 y y^{\prime}+1\right)}{\left(3 y^2+x\right)^2}$. 当 $x=1$ 时, 已知 $y(1)=0$, 又 $y^{\prime}(1)=0$, 经观䔳 $y=y(x)$ 在点 $x=1$ 的某邻域内三阶导数存在, 且 $\lim _{x \rightarrow 1} y^{\prime \prime}(x)=y^{\prime \prime}(1)=$
-2. 于是 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$.

解析:

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