题号:2619    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$A.$ $\frac{1}{6}, 3$. $B.$ $\frac{1}{6}, 2$. $C.$ $\frac{1}{3}, 2$. $D.$ $\frac{1}{3}, 3$.
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答案:
A

解析:

\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{c x^k}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{d k x^{k-1}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{d k x^{k-1} \cdot \sqrt{1+x^2}}\\
&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^2}{c k x^{k-1}}=1 \Rightarrow k-1=2, c k=\frac{1}{2},\\
&\text { 于是 } c=\frac{1}{6}, k=3 \text {. 应选 } \mathrm{A} \text {. }
\end{aligned}
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