题号:2629    题型:填空题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
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答案:
$\begin{cases}\frac{\sin ^2 x+x \sin 2 x}{3\left(x \sin ^2 x\right)^{\frac{2}{3}}}, & -\pi < x < \pi, \text { 且 } x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{cases}$

解析:

当 $-\pi < x < \pi$, 且 $x \neq 0$ 时, $f^{\prime}(x)=\frac{1}{3}\left(x \sin ^2 x\right)^{-\frac{2}{3}}\left(\sin ^2 x+x \sin 2 x\right)=\frac{\sin ^2 x+x \sin 2 x}{3\left(x \sin ^2 x\right)^{\frac{2}{3}}}$; 当 $x=0$ 时, $f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x \sin ^2 x}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sin x)^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}=1$.
于是, $f^{\prime}(x)= \begin{cases}\frac{\sin ^2 x+x \sin 2 x}{3\left(x \sin ^2 x\right)^{\frac{2}{3}}}, & -\pi < x < \pi, \text { 且 } x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{cases}$
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