题号:2708    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学二卷)
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$A.$ $\frac{1}{3}, 3$. $B.$ $\frac{1}{6}, 3$. $C.$ $\frac{1}{3}, 2$. $D.$ $\frac{1}{6}, 2$.
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答案:
B

解析:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{c x^k}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{d k x^{k-1}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{d x^{k-1} \cdot \sqrt{1+x^2}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^2}{d x^{k-1}}=1,
$$
则 $k-1=2, c k=\frac{1}{2}$, 于是 $c=\frac{1}{6}, k=3$. 应选 B.
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