题号:2631    题型:填空题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=$
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答案:
3

解析:

构造幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^n} x^{2 n-2}$, 其收敛域为 $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. 令其和函数为 $S(x)$, 则
$$
\begin{aligned}
S(x) &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^n} x^{2 n-2}=\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2^n}\right)^{\prime}=\left[\frac{x}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x^2}{2}\right)^{n-1}\right]^{\prime} \\
&=\left(\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{x^2}{2}}\right)^{\prime}=\left(\frac{x}{2-x^2}\right)^{\prime}=\frac{2+x^2}{\left(2-x^2\right)^2}(-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}) .
\end{aligned}
$$
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^n}=S(1)=3$.
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