题号:2621    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n^4} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 \sin \frac{\pi j}{2 n}=$
$A.$ $\frac{1}{2}$. $B.$ $\frac{1}{3}$. $C.$ $\frac{1}{4}$. $D.$ $\frac{1}{5}$.
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答案:
B

解析:

$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n^4} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 \sin \frac{\pi j}{2 n} &=\frac{\pi}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\right)^2 \sum_{j=1}^n \sin \left(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{j}{n}\right) \\
&=\frac{\pi}{2} \int_0^1 x^2 \mathrm{~d} x \int_0^1 \sin \left(\frac{\pi}{2} y\right) \mathrm{d} y=\frac{1}{3} .
\end{aligned}
$$
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