题号:2622    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
下列级数中收敛的是
$A.$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n$. $B.$ $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})$. $C.$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}+(-1)^n}$. $D.$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$.
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答案:
D

解析:

因为
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[1+n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)-1\right]^n=\mathrm{lim}^{\lim n}\left[n \ln \mid 1+\frac{1}{n}-1\right]=\lim ^{\lim x+\infty}\left[\operatorname{xn}\left|1+\frac{1}{x}\right|-1\right]$
所以由级数收敛的必要条件知, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n$ 发散.
因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}}{\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{3 n}=\frac{1}{3}$, 所以由正项级数的比较审敛法的极限形式知, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})$ 发散.
因为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}+(-1)^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\left[\sqrt{n+1}-(-1)^n\right]}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^n \sqrt{n+1}}{n}-\frac{1}{n}\right]$, 又由于 数列 $\left\{\frac{\sqrt{n+1}}{n}\right\}$ 单调椷少且趋于零, 因此由莱布尼茨审鉃法知, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n+1}}{n}$ 收㻎, 而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散,故由级数的性质知, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}+(-1)^n}$ 发散.
因为 $\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}=\frac{1}{\mathrm{e}^{\ln n \cdot \ln \ln n}}=\frac{1}{n^{\ln \ln n}} < \frac{1}{n^2}$ (当 $n > \mathrm{e}^{e^2}$ 时), 所以由正项级数的比较审敛法知, 级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ 收敛.
应选 D.
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