题号:2630    题型:填空题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
类型:模拟考试
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
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答案:
$-2 \cos x^2+C(x \neq 0)$, 其中 $C$ 为任意常数

解析:

$$
\begin{aligned}
& f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t \frac{x t=u}{x_{-x^2}^{x^2} \frac{\sin u}{u}} \mathrm{~d} u=2 \int_0^{x^2} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u \\
\Rightarrow & f^{\prime}(x)=2 \cdot \frac{\sin x^2}{x^2} \cdot 2 x=\frac{4 \sin x^2}{x} \\
\Rightarrow & \int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int 4 x \sin x^2 \mathrm{~d} x=-2 \cos x^2+C(x \neq 0) .
\end{aligned}
$$
其中 $C$ 为任意常数.

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