题号:5664    题型:单选题    来源:2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析（数一）
设 $f(x)=\left|\begin{array}{ccccc}x+1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & x+2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & x+3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & x+n\end{array}\right|$
, 则 $f^{(n-1)}(0)=$
$ \text{A.}$ $\frac{1}{2} n(n+1)$. $ \text{B.}$ $\frac{1}{2}(n+1) !$. $ \text{C.}$ $n !$. $ \text{D.}$ $(n+1)$ !.
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答案：
答案：
B

解析：

【分析】由于
$$
f(x)=\left|\begin{array}{ccccc}
x+1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & x+2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 2 & x+3 & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & x+n
\end{array}\right|=\left[x+\frac{n(n+1)}{2}\right]\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & x+2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 2 & x+3 & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & x+n
\end{array}\right|
$$

$$
=\left[x+\frac{n(n+1)}{2}\right]\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
0 & x & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & x & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x
\end{array}\right|=x^{n-1}\left[x+\frac{n(n+1)}{2}\right]=x^n+\frac{n(n+1)}{2} x^{n-1},
$$
故 $f^{(n-1)}(x)=n ! x+\frac{n(n+1)}{2} \cdot(n-1) !=n ! x+\frac{1}{2}(n+1) !$, 因此 $f^{(n-1)}(0)=\frac{1}{2}(n+1) !$.
应选 B.
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