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试卷58

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 已知随机变量

X

服从二项分布，且

E (X) = 2.4, D (X) = 1.44

则二项分布的参数

n, p

的值为

A.

n = 4, p = 0.6

B.

n = 6, p = 0.4

C.

n = 8, p = 0.3

D.

n = 24, p = 0.1

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2. 设随机变量

X

和

Y

相互独立，其概率分布为

则下列式子正确的是

A.

X = Y

B.

P {X = Y} = 0

C.

P {X = Y} = \frac{1}{2}

D.

P {X = Y} = 1

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3. 对任意两随机变量

X

和

Y

，若

E (X Y) = E (X) \cdot E (Y)

，则

A.

D (X Y) = D (X) \cdot D (Y)

B.

D (X + Y) = D (X) + D (Y)

C.

X

和

Y

独立

D.

X

和

Y

不独立

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4. 设

F_{1} (x) ， F_{2} (x)

为两个分布函数，其相应的概率密度

f_{1} (x)

，

f_{2} (x)

是连续函数，则必为概率密度的是

A.

f_{1} (x) f_{2} (x)

B.

2 f_{2} (x) F_{1} (x)

C.

f_{1} (x) F_{2} (x)

D.

f_{1} (x) F_{2} (x) + f_{2} (x) F_{1} (x)

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5. 设随机变量

X

与

Y

相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则

P {X < Y} = ()

A.

\frac{1}{5}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{2}{5}

D.

\frac{4}{5}

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6. 将长度为 1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

- \frac{1}{2}

D.

-1

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7. 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}

为来自总体

N (1, σ^{2}) (σ > 0)

的简单随机样本，则统计量

\frac{X_{1} - X_{2}}{| X_{3} + X_{4} - 2 |}

的分布为

A.

N (0, 1)

B.

t (1)

C.

χ^{2} (1)

D.

F (1, 1)

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二、填空题（共 12 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 已知随机变量的概率密度函数

f (x) = \frac{1}{2} e^{- | x |}, - \infty < x < \infty

则

X

的概率分布函数

F (X) =

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9. 设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = {\begin{array}{cc} 0 & x < 0 \\ A \sin x & 0 \leq x \leq π / 2 \\ 1 & x > π / 2 \end{array}

则

A =

P {| x | < \frac{π}{6}} =

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10. 一射手对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为

\frac{80}{81}

，则射手的命中率为

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11. 已知随机变量

X \sim N (- 3, 1), Y \sim N (2, 1)

, 且

X, Y

相互独立，设随机变量

Z = X - 2 Y + 7

，则

Z \sim

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12. 若随机变量

X

服从均值为 2 ，方差为

σ^{2}

的正态分布，且

P {2 < X < 4} = 0.3

，则

P {X < 0} =

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13. 设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = P {X \leq x} = {\begin{array}{cc} 0 & x < - 1 \\ 0.4 & - 1 \leq x < 1 \\ 0.8 & 1 \leq x < 3 \\ 1 & x \geq 3 \end{array} .

则

X

的概率分布为

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14. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，其中参数

μ

和

σ^{2}

未知，记

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, Q^{2} = \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2},

则假设

H_{0} : μ = 0

的

t

检验应使用统计量

t =

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15. 设由来自正态总体

x \sim N (μ, {0.9}^{2})

, 容量为 9 的简单随机样本，得样本均值

\bar{X} = 5

，则未知参数

μ

的置信度为 0.95 的置信区间为

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16. 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}

是来自正态总体

N (0, 2^{2})

的简单随机样本，

X = a {(X_{1} - 2 X_{2})}^{2} + b {(3 X_{3} - 4 X_{4})}^{2}

，则当

a =

b =

时，统计量

X

服从

χ^{2}

分布，其自由度为

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17. 设总体

X

服从正态分布

N (0, {0.2}^{2})

，而

X_{1}, X_{2}, \dots X_{15}

是来自总体

X

的简单随机样本，则随机变量

Y = \frac{X_{1}^{2} + \dots + X_{10}^{2}}{2 (X_{11}^{2} + \dots + X_{15}^{2})}

服从

分布，参数为

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18. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

N (μ, σ^{2}) (σ > 0)

的简单随机样本，统计量

T = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

，则

E T =

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19. 设二维随机变量

(X, Y)

服从正态分布

N (μ, μ : σ^{2}, σ^{2} : 0)

，则

E (X Y^{2}) =

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三、解答题（共 21 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

20. 设随机变量

X

与

Y

独立, 且

X

服从均值为 1 、标准差 (均方差) 为

\sqrt{2}

的正态分布, 而

Y

服从标准正态分布. 试求随机变量

Z = 2 X - Y + 3

的概率密度函数.

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21. 设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D : 0 < x < 1, | y | < x

内服从均匀分布, 求关于

X

的边缘概率密度函数及随机变量

Z = 2 X + 1

的方差

D (Z)

。

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22. 设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {\begin{cases} 2 e^{- (x + 2 y)}, & x > 0, y > 0, \\ 0, & 其他, \end{cases}

求随机变量

Z = X + 2 Y

的分布函数.

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23. (1) 已知随机变量

X

的概率分布为

P (X = 1) = 0.2, P (X = 2) = 0.3, P (X = 3) = 0.5

试写出

X

的分布函数

F (x)

.
(2) 求

X

的数学期望与方差.
(3) 已知随机变量

Y

的概率密度为

f (y) = {\begin{cases} \frac{y}{a^{2}} e^{- \frac{y^{2}}{2 a^{2}}} & y \geq 0 \\ 0 & y < 0 \end{cases}

求随机变量

Z = \frac{1}{Y}

的数学期望

E (Z)

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24. 假设随机变量

X

在区间

(1, 2)

上服从均匀分布. 试求随机变

Y = e^{2 x}

的概率密度

f (y)

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25. 已知随机变量

X

和

Y

的联合密度为

f (x, y) = {\begin{array}{cc} e^{- (x + y)} & 0 < x < \infty, 0 < y < + \infty \\ 0 & 其他 \end{array} ，

试求: (1)

P {X < Y}

； (2)

E (X Y)

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26. 已知随机变量

X

和

Y

的联合概率分布为:

求：(1)

X

的概率分布;
(2)

X + Y

的概率分布;
(3)

Z = \sin \frac{π (X + Y)}{2}

的数学期望.

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27. 甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2 ，乙的为 0.5 , 以

X

和

Y

分别表示甲和乙的命中次数，试求

X

和

Y

联合概率分布.

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28. 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为

p_{1}

和

p_{2}

，销量分别为

q_{1}

和

q_{2}

，需求函数分别为

q_{1} = 24 - 0.2 p_{1} 和 q_{2} = 10 - 0.05 p_{2} ，

总成本函数

C = 35 + 40 (q_{1} + q_{2})

. 试问: 厂家如何确定两个市场售价，能使其获得的总利润最大? 最大总利润为多少?

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29. 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以

X

表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.
(1) 求

X

的概率分布;
(2) 求

E (\frac{1}{1 + X})

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30. 假设随机变量

X

和

Y

在圆域

x^{2} + y^{2} \leq r^{2}

上服从联合均匀分布.
(1) 求

X

和

Y

的相关系数

ρ

；
(2) 问

X

和

Y

是否独立?

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31. 考虑一元二次方程

x^{2} + B x + C = 0

, 其中

B, C

分别是将一枚股子接连掷两次先后出现的点数. 求方程有实根的概率

p

和有重根的概率

q

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32. 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分? 并给出检验过程.
附表:

t

分布表

P {t (n) \leq t_{p} (n)} = p

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33. 设

X_{1}, X_{2}, \dots X_{9}

是来自正态总体

X

的简单随机样本，

\begin{aligned} Y_{1} = \frac{1}{6} (X_{1} + \dots + X_{6}), Y_{2} = \frac{1}{3} (X_{7} + X_{8} + X_{9}) \\ S^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i = 7}^{9} {(X_{i} - Y_{2})}^{2}, Z = \frac{\sqrt{2} (Y_{1} - Y_{2})}{S} \end{aligned}

证明统计量

Z

服从自由度为 2 的

t

分布.

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34. 假设

0.50, 1.25, 0.80, 2.00

是来自总体

X

的简单随机样本值. 已知

Y = \ln X

服从正态分布

N (μ, 1)

.
(1) 求

X

的数学期望值

E (X)

（记

E (X)

为

b

）；
(2) 求

μ

的置信度为 0.95 的置信区间；
(3) 利用上述结果求

b

的置信度为 0.95 的置信区间.

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35. 设总体

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{array}{cc} 2 e^{- 2 (x - θ)} & x > θ \\ 0 & x \leq 0 \end{array}

其中

θ > 0

是未知参数. 从总体

X

中抽取简单随机样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

，记

\hat{θ} = min (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) .

(1) 求总体

X

的分布函数

F (x)

.
(2) 求统计量

\hat{θ}

的分布函数

F_{\hat{θ}} (x)

.
(3) 如果用

\hat{θ}

作为

θ

的估计量，讨论它是否具有无偏性.

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36. 设随机变量

X

的分布函数为

F (x, α, β) = {\begin{array}{cl} 1 - {(\frac{α}{x})}^{β}, & x > α, \\ 0, & x \leq α, \end{array}

其中参数

α > 0, β > 1

. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本，
（1）当

α = 1

时，求未知参数

β

的矩估计量;
（2）当

α = 1

时，求未知参数

β

的最大似然估计量;
(3) 当

β = 2

时，求未知参数

α

的最大似然估计量.

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37. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本, 记

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, T = \bar{X}

(1) 证明

T

是

μ^{2}

的无偏估计量；
(2) 当

μ = 0, σ = 1

时，求

D (T)

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38. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

\begin{aligned} 记 \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, S^{2} & = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, \\ T & = {\bar{X}}^{2} - \frac{1}{n} S^{2} \end{aligned}

(I) 证明

T

是

μ^{2}

的无偏估计量；
(II) 当

μ = 0, σ = 1

时，求

D (T)

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39. 设随机变量

X

与

Y

的概率分布分别为

且

P {X^{2} = Y^{2}} = 1

.
(1) 求二维随机变量

(X, Y)

的概率分布;
(2) 求

Z = X Y

的概率分布.
(3) 求

X

与

Y

的相关系数

ρ_{X Y}

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40. 设二维随机变量

(X, Y)

服从区域

G

上的均匀分布，其中

G

由

x - y = 0, x + y = 2

与

y = 0

所围成的三角形区域。
(1) 求

X

概率密度

f_{X} (x)

； (2) 求条件概率密度

f_{X ∣ Y} (x ∣ y)

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