一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从二项分布，且$E(X)=2.4, \quad D(X)=1.44 $ 则二项分布的参数 $n, p$ 的值为
$\text{A.}$ $n=4, \quad p=0.6$
$\text{B.}$ $n=6, \quad p=0.4$
$\text{C.}$ $n=8, \quad p=0.3$
$\text{D.}$ $n=24, \quad p=0.1$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 相互独立，其概率分布为
则下列式子正确的是
$\text{A.}$ $X=Y$
$\text{B.}$ $P\{X=Y\}=0$
$\text{C.}$ $P\{X=Y\}=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $P\{X=Y\}=1$
对任意两随机变量 $X$ 和 $Y$ ，若 $E(X Y)=E(X) \cdot E(Y)$ ，则
$\text{A.}$ $D(X Y)=D(X) \cdot D(Y)$
$\text{B.}$ $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
$\text{C.}$ ${X}$ 和 ${Y}$ 独立
$\text{D.}$ $X$ 和 $Y$ 不独立
设 $F_1(x) ， F_2(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_1(x)$ ， $f_2(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是
$\text{A.}$ $f_1(x) f_2(x)$
$\text{B.}$ $2 f_2(x) F_1(x)$
$\text{C.}$ $f_1(x) F_2(x)$
$\text{D.}$ $f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 $P\{X < Y\}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
将长度为 1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ -1
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(1, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\frac{X_1-X_2}{\left|X_3+X_4-2\right|}$ 的分布为
$\text{A.}$ $N(0,1)$
$\text{B.}$ $t(1)$
$\text{C.}$ $\chi^2(1)$
$\text{D.}$ ${F}(\mathbf{1}, \mathbf{1})$
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知随机变量的概率密度函数 $f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|},-\infty < x < \infty$ 则 $X$ 的概率分布函数 $F(X)=$
设随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < 0 \\
A \sin x & 0 \leq x \leq \pi / 2 \\
1 & x>\pi / 2
\end{array}\right.
$$
则 $A=$ $\qquad$ $P\left\{|x| < \frac{\pi}{6}\right\}=$
一射手对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为 $\frac{80}{81}$ ，则射手的命中率为
已知随机变量 $X \sim N(-3,1), Y \sim N(2,1)$, 且 $X, Y$ 相互独立，设随机变量 $Z=X-2 Y+7$ ，则 $Z \sim$
若随机变量 $X$ 服从均值为 2 ，方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，且 $P\{2 < X < 4\}=0.3$ ，则 $P\{X < 0\}=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为
$$
F(x)=P\{X \leq x\}=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < -1 \\
0.4 & -1 \leq x < 1 \\
0.8 & 1 \leq x < 3 \\
1 & x \geq 3
\end{array}\right. \text {. }
$$
则 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中参数 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 未知，记
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad Q^2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2,
$$
则假设 $H_0: \mu=0$ 的 $t$ 检验应使用统计量 $t=$
设由来自正态总体 $\mathrm{x} \sim N\left(\mu, 0.9^2\right)$, 容量为 9 的简单随机样本，得样本均值 $\bar{X}=5$ ，则未知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间为
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态总体 $N\left(0,2^2\right)$ 的简单随机样本， $X=a\left(X_1-2 X_2\right)^2+b\left(3 X_3-4 X_4\right)^2$ ，则当
$a=$ $\qquad$ $b=$ $\qquad$时，统计量 $X$ 服从 $\chi^2$ 分布，其自由度为 $\qquad$
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0,0.2^2\right)$ ，而 $X_1, X_2, \cdots X_{15}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则随机变量
$Y=\frac{X_1^2+\cdots+X_{10}^2}{2\left(X_{11}^2+\cdots+X_{15}^2\right)}$ 服从 $\qquad$分布，参数为
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，统计量 $T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ，则 $E T=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \mu: \sigma^2, \sigma^2: 0\right)$ ，则 $E\left(X Y^2\right)=$
三、解答题 （ 共 25 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立, 且 $X$ 服从均值为 1 、标准差 (均方差) 为 $\sqrt{2}$ 的正态分布, 而 $Y$ 服从标准正态 分布. 试求随机变量 $Z=2 X-Y+3$ 的概率密度函数.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D: 0 < x < 1,|y| < x$ 内服从均匀分布, 求关于 $X$ 的边缘概率密度函数及随机变量 $Z=2 X+1$ 的方差 $D(Z)$ 。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-(x+2 y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$ 求随机变量$Z=X+2Y$的分布函数.
(1) 已知随机变量 $X$ 的概率分布为
$$
P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5
$$
试写出 $X$ 的分布函数 $F(x)$.
(2) 求 $X$ 的数学期望与方差.
(3) 已知随机变量 $\boldsymbol{Y}$ 的概率密度为
$$
f(y)= \begin{cases}\frac{y}{a^2} e^{-\frac{y^2}{2 a^2}} & y \geq 0 \\ 0 & y < 0\end{cases}
$$
求随机变量 $Z=\frac{1}{Y}$ 的数学期望 $E(Z)$.
假设随机变量 $X$ 在区间 $(1,2)$ 上服从均匀分布. 试求随机变 $Y=e^{2 x}$ 的概率密度 $f(y)$.
已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-(x+y)} & 0 < x < \infty, 0 < y < +\infty \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right. \text { ， }
$$
试求: (1) $P\{X < Y\}$ ； (2) $E(X Y)$.
已知随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的联合概率分布为:
求：(1) $X$ 的概率分布;
(2) $X+Y$ 的概率分布;
(3) $Z=\sin \frac{\pi(X+Y)}{2}$ 的数学期望.
甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2 ，乙的为 0.5 , 以 $X$ 和 $Y$ 分别表示甲和乙的命中次数，试求 $X$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 联合概率分布.
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 $p_1$ 和 $p_2$ ，销量分别为 $q_1$ 和 $q_2$ ，需求函数分别为
$$
q_1=24-0.2 p_1 \text { 和 } q_2=10-0.05 p_2 ，
$$
总成本函数 $C=35+40\left(q_1+q_2\right)$. 试问: 厂家如何确定两个市场售价，能使其获得的总利润最大? 最大总利润为多少?
一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 $\boldsymbol{X}$ 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.
(1) 求 $X$ 的概率分布;
(2) 求 $E\left(\frac{1}{1+X}\right)$.
假设随机变量 $X$ 和 $Y$ 在圆域 $x^2+y^2 \leq r^2$ 上服从联合均匀分布.
(1) 求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho$ ；
(2) 问 $X$ 和 $Y$ 是否独立?
考虑一元二次方程 $x^2+B x+C=0$, 其中 $B, C$ 分别是将一枚股子接连掷两次先后出现的点数. 求方程有实根的概率 $p$ 和有重根的概率 $q$.
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分? 并给出检验过程.
附表: $t$ 分布表 $P\left\{t(n) \leq t_p(n)\right\}=p$
设 $X_1, X_2, \cdots X_9$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，
$$
\begin{aligned}
& Y_1=\frac{1}{6}\left(X_1+\cdots+X_6\right), Y_2=\frac{1}{3}\left(X_7+X_8+X_9\right) \\
& S^2=\frac{1}{2} \sum_{i=7}^9\left(X_i-Y_2\right)^2, Z=\frac{\sqrt{2}\left(Y_1-Y_2\right)}{S}
\end{aligned}
$$
证明统计量 $Z$ 服从自由度为 2 的 $t$ 分布.
假设 $0.50,1.25,0.80,2.00$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本值. 已知 $Y=\ln X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$.
(1) 求 $X$ 的数学期望值 $E(X)$ （记 $E(X)$ 为 $b$ ）；
(2) 求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间；
(3) 利用上述结果求 $b$ 的置信度为 0.95 的置信区间.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
2 e^{-2(x-\theta)} & x>\theta \\
0 & x \leq 0
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta>0$ 是未知参数. 从总体 $X$ 中抽取简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ，记
$$
\hat{\boldsymbol{\theta}}=\min \left(\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \cdots, \boldsymbol{X}_n\right) .
$$
(1) 求总体 $X$ 的分布函数 $F(x)$.
(2) 求统计量 $\hat{\theta}$ 的分布函数 $F_{\hat{\theta}}(x)$.
(3) 如果用 $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ 作为 $\boldsymbol{\theta}$ 的估计量，讨论它是否具有无偏性.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为
$$
F(x, \alpha, \beta)=\left\{\begin{array}{cl}
1-\left(\frac{\alpha}{x}\right)^\beta, & x>\alpha, \\
0, & x \leq \alpha,
\end{array}\right.
$$
其中参数 $\alpha>0, \beta>1$. 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，
（1）当 $\alpha=1$ 时，求未知参数 $\beta$ 的矩估计量;
（2）当 $\alpha=1$ 时，求未知参数 $\beta$ 的最大似然估计量;
(3) 当 $\beta=2$ 时，求未知参数 $\alpha$ 的最大似然估计量.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 记
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \quad T=\bar{X}
$$
(1) 证明 $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计量；
(2) 当 $\mu=0, \sigma=1$ 时，求 $D(T)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，
$$
\begin{aligned}
\text { 记 } \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad S^2 & =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
T & =\bar{X}^2-\frac{1}{n} S^2
\end{aligned}
$$
(I) 证明 $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计量；
(II) 当 $\mu=0, \sigma=1$ 时，求 $D(T)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为
且 $P\left\{X^2=Y^2\right\}=1$.
(1) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布;
(2) 求 $Z=X Y$ 的概率分布.
(3) 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的均匀分布，其中 $G$ 由 $x-y=0, x+y=2$ 与 $y=0$ 所围成的三角形区域。
(1) 求 $X$ 概率密度 $f_X(x)$ ； (2) 求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$.