设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为
$$
F(x, \alpha, \beta)=\left\{\begin{array}{cl}
1-\left(\frac{\alpha}{x}\right)^\beta, & x>\alpha, \\
0, & x \leq \alpha,
\end{array}\right.
$$

其中参数 $\alpha>0, \beta>1$. 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，
（1）当 $\alpha=1$ 时，求未知参数 $\beta$ 的矩估计量;
（2）当 $\alpha=1$ 时，求未知参数 $\beta$ 的最大似然估计量;
(3) 当 $\beta=2$ 时，求未知参数 $\alpha$ 的最大似然估计量.